Changement de base

[Bleyblue]

Bonjour,

Les changements de base c'est bien amusant mais il est temps que je passe à autre chose (la matière vue au cours ayant bien avancée) alors si vous pouvez me confirmer un dernier petit exercice histoir de voir si j'ai comprit ça serait bien

Soit M la matrice de l'application linéaire dans la base B₁ = {(1,0), (1,1)} de et B₂ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de



Je cherche la matrice de l'application dans les bases B₁' = {(0,1), (1,0)} de et B₂' = {(0,0,1), (0,1,0),(1,0,0)} de

(J'ai prit des matrices avec des zéros un peu partout afin de me simplifier la tâche pour les convertions mais ça ne change rien au principe)

J'exprime donc les vecteurs de la base B1' dans la base B1 :

(0,1) = -(1,0) + (1,1)
(1,0) = 1(1,0) + 0(1,1)

Ensuite je prends l'image de ces vecteurs par l'application :





Et j'exprime ces deux vecteurs dans la base B2' :

(2,-1,3) = [3,-1,2]
(0,0,2) = [2,0,0]

Donc la matrice recherchée est :



N'est-ce pas ?

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Ca me semble juste tout ça.
Bonne continuation
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rvz

[Bleyblue]

D'accord

Je vais terminer les valeurs propres et diagonalisation, puis je passerai aux espaces vectoriels euclidiens et hermitiens

merci !

[matthias]

Moi je ne suis pas d'accord.

Une erreur ici:

Ensuite je pense qu'il y a confusion:

Et j'exprime ces deux vecteurs dans la base B2' :

(2,-1,3) = [3,-1,2]
(0,0,2) = [2,0,0]

(2,-1,3) dans la base B2 ne donne pas (3,-1,2) dans la base B'2. Tu as considéré que (2,-1,3) était dans la base canonique qui est différente de B2. Or (2,-1,3) est bien exprimé dans la base B2.

Tu devrais plutôt faire ce genre de chose avec des matrices de changement de base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

(2,-1,3) dans la base B2 ne donne pas (3,-1,2) dans la base B'2. Tu as considéré que (2,-1,3) était dans la base canonique qui est différente de B2. Or (2,-1,3) est bien exprimé dans la base B2.

Ahh mais oui ... je me disais bien que je m'étais peut-être trompé quelque part. Il faut que je fasse attention sinon je peux aussi faire ça avec les matrices de changement de base mais ça me semble plus difficile ...

merci

[matthias]

Il faut que je fasse attention sinon je peux aussi faire ça avec les matrices de changement de base mais ça me semble plus difficile ...

Non ce n'est pas plus difficile et il faut savoir le faire. Ca n'apporte pas grand-chose pour ce genre de problèmes simples, c'est vrai, mais c'est un outil synthétique indispensable. Il arrive souvent de l'utiliser dans des démonstrations où l'on ne connaît pas les bases a priori.

Sinon, pour éviter les confusions, donne des noms aux vecteurs de tes bases, ce sera plus clair.

[Bleyblue]

Bon eh bien je vais essayer de rectifier le tire pour celui ci et puis j'essaierai de le faire avec les matrices de changements de base pour vérifier que je tombe bien sur la même chose

merci

[matthias]

Voici pourquoi je te propose de nommer les vecteurs de tes bases:

B1={e1;e2} B'1={e'1;e'2}
B2={f1;f2;f3} B'2={f'1;f'2;f'3}

Les relations de changement de base:
e'1 = e2 - e1
e'2 = e1

f1 = f'1 + f'2 + f'3
f2 = f'2 + f'3
f3 = f'3

Me'1 = M(e2-e1) = 2f1 - f2 + 3f3 = 2f'1 + f'2 + 4f'3
Me'2 = Me1 = f2 + 2f3 = f'2 + 3f'3

Et tu en déduis immédiatement M'. C'est plus clair non ?

Personellement, je trouve qu'il y a moins de risques de confusions quand on ne se sert de la base canonique que pour établir les relations entre les bases, et qu'on l'oublie ensuite (c'est ce quon fait aussi avec des matrices de changement de base).

[Bleyblue]

Oui je n'avais pas pensé à faire ça comme ça.

Pour la base canonique c'est vrai que ça induit pas mal en confusion ...

merci bien pour les conseils !

[invite6b1e2c2e]

Oups ! Désolé. J'avais juste vérifier quelques lignes au hasard. J'espère que je ne t'ai pas induit en erreur.

__
rvz

[Bleyblue]

Non ce n'est pas grave

[Bleyblue]

Tenez si je considère l'ensemble des matrices réelles (n * n) inversibles que je lui ajoute la matrice nulle et que je munis de la multiplication et de l'addition matricielle ça me donne bien un corps non ?

Parceque (A est l'ensemble, I la matrice identité, O la matric nulle) :

1) A,+,O forme bien un groupe additif
2) A\{0},.,Id c'est le groupe linéaire général de dimension n
3) Si a est un élément de A on a bien : a.O = O.a = O

Et alors il me semble que pour a,b,c appartenant à A :

4)a(b + c) = a.b + a.c

mais je ne suis pas certain ici.

Qu'en dites-vous ?

merci

[invite6de5f0ac]

1) A,+,O forme bien un groupe additif

Bonjour,

Eh bin pas de bol... La somme de deux matrices inversibles peut très bien être non inversible, sans pour autant être nulle. C'est triste mais c'est comme ça.

-- françois

[Bleyblue]

Ah oui mince, pas de bol comme tu dis ...

merci