Changement de base en MQ

[Etile]

Bonsoir,
Je viens de me rendre compte que j'ai un problème avec les changements de base en utilisant la relation de fermeture, et j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Soit et
J'utilise donc la relation de fermeture pour trouver dans la base , c'est à dire

Le problème est que je ne trouve pas la même chose avec la matrice de passage (à cause des conjugués complexe qui interviennent lorsque je transforme les kets en bras).
Quelle est la bonne technique à utiliser ? Je pense que celle avec la relation de fermeture est fausse, mais pourquoi ?

Merci.
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[Deedee81]

Quelle est la bonne technique à utiliser ? Je pense que celle avec la relation de fermeture est fausse, mais pourquoi ?

Bonjour Etile,

Non, a priori la relation est bonne. A condition, bien entendu, que les états soient normalisés. Ce qui est bien le cas.

Tu dois avoir une erreur, soit dans la matrice, soit dans tes calculs.

[Etile]

Apparement le problème vient de ma matrice de passage.
Pour moi la matrice de passage P de la base à est égale à

D'où, avec j'obtiens de suite que

Or, en passant par la relation de fermeture j'ai bien évidemment
et .

On remarque de suite que l'expression de n'est pas la même que celle avec la matrice de passage, à cause de la transposition de à . Seulement je n'arrive pas à voir pourquoi ma matrice de passage serait fausse.

[gatsu]

Apparement le problème vient de ma matrice de passage.
Pour moi la matrice de passage P de la base à est égale à

D'où, avec j'obtiens de suite que

Or, en passant par la relation de fermeture j'ai bien évidemment
et .

On remarque de suite que l'expression de n'est pas la même que celle avec la matrice de passage, à cause de la transposition de à . Seulement je n'arrive pas à voir pourquoi ma matrice de passage serait fausse.

EDIT: NOn ok j'ai dit la même chose que toi...

Le truc pour une matrice de passage d'une base B à B' c'est qu'elle contient les coefficients des vecteurs de la base B' exprimés dans la base B (la base de départ) de fait pour un vecteur X on a X(B)=P(B->B')X(B') en notation matricielle. On est donc obligé d'utiliser la transposée ou le conjugué hermitique de P(B->B') pour avoir X(B')...ce que tu recherche a priori.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Ah, je ne le savais pas.
Donc pour une matrice de passage P(B->B') défini sur un corps , les colonnes sont en fait les conjugués complexe des vecteurs B' exprimés dans B ?

Désolé de poser des questions simples mais j'ai quelques lacunes à rattraper.

Edit: Je ne vois vraiment pas ou est mon erreur si tu dis la même chose que moi.

[Deedee81]

Seulement je n'arrive pas à voir pourquoi ma matrice de passage serait fausse.

C'est un peu loin tout ça. C'est plus tout frais dans ma mémoire
Et quelqu'un aura peut-être le courage de vérifier que la matrice P est bien l'inverse de la matrice donnée par les premières relations que tu donnais.

Ceci dit, moi j'avais vu le changement de base par transformation unitaire.

Mais je ne vois pas pourquoi ta simple méthode matricielle ne marcherait pas.
Sans doute parce que les vecteurs d'état ne sont pas de simples vecteurs dans un espace réel (ce que montre le produit scalaire qui fait, justement, intervenir le conjugué).

Si un crack pouvait nous aider

[Etile]

Edit: En fait non, je dis n'importe quoi.

[CoucouHibou]

Bonjour,

je ne me suis pas penché sur la totalité du problème mais une chose me frappe dans ta matrice de passage.

Apparement le problème vient de ma matrice de passage.
Pour moi la matrice de passage P de la base à est égale à


[...]

Seulement je n'arrive pas à voir pourquoi ma matrice de passage serait fausse.

Je manque certainement d'une bonne partie du background nécessaire et donc du vocabulaire pour décrire proprement les choses, mais je peux te décrire ce que je connais de mon point de vue de RMNiste avec les spins 1/2.

Dans la base de Zeeman, on exprime la forme générale suivante :

(M.H. Levitt, spin dynamics)

Avec l'angle fait par le spin avec l'axe Oz et l'angle fait avec l'axe Ox.

Si tu changes de base, tu cherches les états et tels que :



et



Je n'ai en effet pas la même matrice de passage dans ce cas (la 2e colonne est différente).

Je ne suis pas sûr de moi, donc corrigez moi si nécessaire, mais c'est comme ça que je le ferais en tout cas.

Bon courage, cordialement,

Hibou

[Deedee81]

Edit: En fait non, je dis n'importe quoi.

Et moi j'ai peur de t'enfoncer la tête sous l'eau (sauf si je prend la peine de réfléchir, mais comme je suis toujours à la bourre avec le boulot)

Donc, attendons qu'un expert intervienne (ou quelqu'un qui a plus de temps que moi )

Et excuse moi de ne pas avoir le temps de me pencher plus sur ces difficultés (ou ne de pouvoir me rappeller facilement ce truc que j'ai étudié il y a vingt ans) .

[invitefa5fd80c]

La relation de fermeture est OK. C'est la matrice de passage qui est fautive : si on connait les coefficients d'un vecteur dans la base , pour passer à la base il faut connaître les coefficients des vecteurs de base constituant la base dans la base . La matrice de passage est donc l'inverse de la matrice ci-haut. Enfin, me sembe

[Deedee81]

Bonjour Paul,

Merci de ton intervention ainsi qu'à coucouhibou,

La relation de fermeture est OK. C'est la matrice de passage qui est fautive : si on connait les coefficients d'un vecteur dans la base , pour passer à la base il faut connaître les coefficients des vecteurs de base constituant la base dans la base . La matrice de passage est donc l'inverse de la matrice ci-haut. Enfin, me sembe

Justement, ce n'est pas déjà la matrice inverse qu'il prenait (le coefficient 1,2 n'a pas le même signe que dans ses relations initiales) ? Et, je n'avais pas l'habitude de travailler avec ça, mais ne doit-il pas prendre le conjugué en plus de l'inverse ?

[Etile]

Pourtant la matrice de passage de la base B à la base B' peut être interprêtée comme l'application identité de B' dans B non ? En gros, la matrice de passage de B à B' comporte dans ses colonnes les vecteurs de B' exprimé dans B, et c'est ce que j'ai au dessus.
A moins que ce ne soit pas ça ?

[invitefa5fd80c]

Justement, ce n'est pas déjà la matrice inverse qu'il prenait (le coefficient 1,2 n'a pas le même signe que dans ses relations initiales) ?

Bonjour Didier,

J'ai relu et il me semble que non : la matrice plus haut est la matrice de passage de la base (c'est-à-dire ) à la base .

Et, je n'avais pas l'habitude de travailler avec ça, mais ne doit-il pas prendre le conjugué en plus de l'inverse ?

Heu non non, seulement l'inverse, à moins que quelque chose ne m'échappe...

[Deedee81]

Pourtant la matrice de passage de la base B à la base B' peut être interprêtée comme l'application identité de B' dans B non ? En gros, la matrice de passage de B à B' comporte dans ses colonnes les vecteurs de B' exprimé dans B, et c'est ce que j'ai au dessus.
A moins que ce ne soit pas ça ?

Oui, mais c'est passer de B' à B que tu veux.
Et la matrice que tu donnais est bien l'inverse de celle-là ?

(et comme je disais, est-ce que l'inverse "suffit" ici ?)

Bon, c'est promis, si d'ici vendredi on n'a pas la réponse, je décortiquerai ça du week end (ça sera toujours mieux que mes réponses à la va vite et forcément vague et/ou incomplète )

[CoucouHibou]

AAAAAAAAAAAAAAAH !

Ne me remercie pas ! J'écris d'énormes bêtises ! On ne devrait jamais réfléchir quand l'estomac est en concurence avec le cerveau !

Je reprends donc. Changement de base, on cherche les expressions de et



et



Il y a bien une différence entre nos 2 colonnes, à condition bien sûr que mes relations de trigo soient bonnes (on a bien et vice versa non ?) Je te conseille de revérifier mes calculs, mais je crois que c'est ça.

Bon courage, cordialement,

Hibou

[invitefa5fd80c]

Pourtant la matrice de passage de la base B à la base B' peut être interprêtée comme l'application identité de B' dans B non ? En gros, la matrice de passage de B à B' comporte dans ses colonnes les vecteurs de B' exprimé dans B, et c'est ce que j'ai au dessus.
A moins que ce ne soit pas ça ?

Le mieux c'est d'écrire explicitement ce que l'on fait. Soit un vecteur, et les vecteurs de base constituant la base et et les vecteurs de base constituant la base .

On peut exprimer comme une superposition de et :



Étant donné que et constituent aussi une base, on peut écrire :


et


Remplaçant dans l'expression plus haut, on a :



et sont les coefficients de dans la base , , sont les coefficients du vecteur de base dans la base et , sont les coefficients du vecteur de base dans la base . Mets tout cela sous forme matricielle

[gatsu]

Pourtant la matrice de passage de la base B à la base B' peut être interprêtée comme l'application identité de B' dans B non ? En gros, la matrice de passage de B à B' comporte dans ses colonnes les vecteurs de B' exprimé dans B, et c'est ce que j'ai au dessus.
A moins que ce ne soit pas ça ?

C'est exactement ça . Donc (P(B->B'))^{-1} te donnera directement les vecteur de la base B exprimés dans B' dans ses colonnes (et ça c'est ce que tu veux si je comprends tes calculs). Et comme tu l'as dit toi même la matrice est une matrice de passage entre une base orthonormée et une autre alors elle est unitaire et (P(B->B'))^{-1} est le conjugué hermitique de P(B->B').

[Deedee81]

C'est exactement ça . Donc (P(B->B'))^{-1} te donnera directement les vecteur de la base B exprimés dans B' dans ses colonnes (et ça c'est ce que tu veux si je comprends tes calculs). Et comme tu l'as dit toi même la matrice est une matrice de passage entre une base orthonormée et une autre alors elle est unitaire et (P(B->B'))^{-1} est le conjugué hermitique de P(B->B').

Bonjour gatsu,

Je confirme tes explications et il reste donc à Etile à vérifier le calcul de la matrice (et son conjugué hermitique).

Je tenais à te remercier d'avoir réveillé ma mémoire défaillante

[Etile]

Je pense avoir compris, merci pour toutes vos réponses. En effet, lorsque je calcule , je me rends compte qu'il s'agit de la transposée conjuguée de P.
Seulement, car il y'a un seulement, j'ai encore un problème de signe quand je veux calculer dans . Le sinus a un signe alors qu'il devrait être .

Edit: Ah non j'ai oublié de prendre la transposée.

[Etile]

Ca marche parfaitement dans ce sens, merci à tous.