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Inversibles d'un anneau



  1. #1
    Bleyblue

    Inversibles d'un anneau


    ------

    Bonjour,

    C'est à propos de l'exercice 4 ici :

    http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...so/Mai02d1.jpg

    Bon, n = 7³ et 7 est un nombre premier.

    Il y a (p - 1) éléments inversibles dans Z7 (vu que x inversible <=> x est relativement premier avec 7)

    Et dans ? Les éléments inversibles sont ceux qui sont relativement premier avec 7², c'est à dire tous sauf les les multiples de 7 : 0.7,1.7,2.7,3.7,4.7,5.7,6.7 (et c'est tout)
    Donc il y a 7² - 7 éléments inversibles

    Et dans c'est pareil. Il y a : (7³ - les mutliples de 7 - les mutiples de 7²) éléments inversibles.
    Ceux ci sont :

    0.7 (=0.7²),1.7,2.7,3.7,4.7,5.7,6. 7,1.7²,2.7²,3.7²,4.7²,5.7²,6.7 ²

    et ils sont donc au nombre de 13 donc il y a 7³ - 13 éléments inversibles dans l'anneau.

    C'est bon ou bien j'en ai oublié ?

    merci

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : Inversibles d'un anneaux

    Salut,

    En fait, là tu as craqué. Il faut retirer tous les multiples de 7, jusque là on est d'accord. Mais c'est pas la peine de retirer les éléments qui sont multiples de 7^2, parce que sinon tu les comptes 2 fois... Et puis, 7^2 est un multiple de 7, tout comme 8.7, etc jusqu'à ce que tu boucles dans Z/(7^3.Z), ce qui arrive quand tu multiplies par 7^2.

    __
    rvz

    PS : Tu peux généraliser sans mal cette formule pour tout nombre premier, et tu peux aussi déterminer le nombre d'éléments de U(Z/nZ) par une formule assez simple quand tu connais la décomposition de n en nombres premiers par un théorème chinois... Ca s'appelle l'indicatrice d'Euler je crois

  3. #3
    Bleyblue

    Re : Inversibles d'un anneaux

    aie oui mince ...

    Il suffit de prendre 7³ - (le nombre de multiples de 7) qui sont (7.0,7.1,7.2, ..., 7.7, ...,7.(7² - 1))

    Donc il y a 7³ - 7² élément inversibles.
    En fait si p est premier alors l'anneau :

    (n naturel > 0)

    contient pn - p(n-1) éléments inversibles

    merci

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