Inversibles d'un anneau

[Bleyblue]

Bonjour,

C'est à propos de l'exercice 4 ici :

http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...so/Mai02d1.jpg

Bon, n = 7³ et 7 est un nombre premier.

Il y a (p - 1) éléments inversibles dans Z7 (vu que x inversible <=> x est relativement premier avec 7)

Et dans ? Les éléments inversibles sont ceux qui sont relativement premier avec 7², c'est à dire tous sauf les les multiples de 7 : 0.7,1.7,2.7,3.7,4.7,5.7,6.7 (et c'est tout)
Donc il y a 7² - 7 éléments inversibles

Et dans c'est pareil. Il y a : (7³ - les mutliples de 7 - les mutiples de 7²) éléments inversibles.
Ceux ci sont :

0.7 (=0.7²),1.7,2.7,3.7,4.7,5.7,6. 7,1.7²,2.7²,3.7²,4.7²,5.7²,6.7 ²

et ils sont donc au nombre de 13 donc il y a 7³ - 13 éléments inversibles dans l'anneau.

C'est bon ou bien j'en ai oublié ?

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

En fait, là tu as craqué. Il faut retirer tous les multiples de 7, jusque là on est d'accord. Mais c'est pas la peine de retirer les éléments qui sont multiples de 7^2, parce que sinon tu les comptes 2 fois... Et puis, 7^2 est un multiple de 7, tout comme 8.7, etc jusqu'à ce que tu boucles dans Z/(7^3.Z), ce qui arrive quand tu multiplies par 7^2.

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rvz

PS : Tu peux généraliser sans mal cette formule pour tout nombre premier, et tu peux aussi déterminer le nombre d'éléments de U(Z/nZ) par une formule assez simple quand tu connais la décomposition de n en nombres premiers par un théorème chinois... Ca s'appelle l'indicatrice d'Euler je crois

[Bleyblue]

aie oui mince ...

Il suffit de prendre 7³ - (le nombre de multiples de 7) qui sont (7.0,7.1,7.2, ..., 7.7, ...,7.(7² - 1))

Donc il y a 7³ - 7² élément inversibles.
En fait si p est premier alors l'anneau :

(n naturel > 0)

contient pⁿ - p^(n-1) éléments inversibles

merci