Idéaux d'un anneau

[invitecbade190]

Bonsoir:
Pourriez vous m'expliquer de manière detaillée pourquoi on a bijection entre les idéaux de et les idéaux de contenant via une application telle que :
.
avec : : l'ensemble des idéaux de et l'ensemble des les idéaux de contenant
j'ai réussi à trouver un document dans lequel il y'a une demonstration qui n'est pas tellement clair (au moins pour moi).. Ce que je ne comprends pas c'est la partie qui affirme que l'application est bien définie.. est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi et merçi infiniment !!
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[invite9cf21bce]

Salut !

Bon je crois que tu as mélangé deux propriétés avec leurs notations, et du coup ça n'est pas illogique que tu ne retrouves plus ton théorème.

Soit f un morphisme d'anneaux (commutatifs unitaires) A -> B
Pour tout idéal J de B, f ^-1(J) est un idéal de A (qu'on note d'ailleurs souvent bien qu'on ne puisse pas vraiment parler d'intersection ici).
On obtient une application F:{idéaux de B} -> {idéaux de A}

Cette application n'est en général :

• ni injective (prends pour f l'injection canonique Z -> Z[X], et prends J₁=(X) et J₂=(X²) )
• ni surjective (prends pour f la surjection canonique Z -> Z/2Z, et essaie de fabriquer l'idéal 3Z de Z comme f ^-1 de quelque chose)

Par contre, si f est surjective, il est facile de voir que F est injective (si f est une application surjective quelconque, f(f ^-1(P))=P pour toute partie P)

Partant de là, soit I un idéal de A. Prends pour f la surjection canonique A -> A/I
F est injective {idéaux de A/I} -> {idéaux de A}

Reste à voir que l'image de F est constituée, en fait, de tous les idéaux de A qui contiennent I.

Si tu veux je peux aussi te donner des indications pour cela...

Taar.