Sous anneaux d'un anneau produit

[invitebb921944]

Rebonjour tout le monde !
Je voulais savoir si mon raisonnement est bon !

Je dois déterminer les sous anneaux de A=Z/4ZxZ/4Z

Je vais d'abord montrer que les sous anneaux de A sont les B=IxJ où I et J sont tous les deux des sous anneaux de Z/4Z.

On doit bien entendu avoir B inclu dans A, donc I inclu dans Z/4Z et J inclu dans Z/4Z.

*Il faut que (B,+) soit un sous-groupe de (A,+)
Donc il faut que 0 soit dans B, c'est à dire (0,0) soit dans B, c'est à dire 0 soit dans I et dans J
Soit x=(x1,x2), y=(y1,y2) deux éléments de B.
Il faut que x-y soit dans B
x-y=(x1-y1,x2-y2) dans B
Donc x1-y1 dans I et x2-y2 dans J. (Puisque x1 et y1 étaient dans I, x2 et y2 dans J et que leur différence sont respectivement dans I et J, on peut en déduire que I et J sont des sous groupes de Z/4Z)

*Soit x=(x1,x2), y=(y1,y2) deux éléments de B
xy=(x1y1,x2y2) doit être un élément de B, i.e. x1y1 et x2y2 doivent etre respectivement des éléments de I et J.

*1=(1,1) doit appartenir à B, donc 1 doit appartenir à la fois à I et J.

On en déduit que les sous anneaux B de A sont les IxJ où I et J sont des sous anneaux de Z/4Z.

Cherchons les sous anneaux possibles de Z/4Z.
Si I est un sous anneau de Z/4Z, c'est un sous groupe de Z/4Z, or les seuls sous groupes possibles de Z/4Z sont {0}, Z/4Z et 2Z/4Z.
{0} est l'anneau nul, Z/4Z est un anneau mais 2Z/4Z n'en est pas un puisqu'il ne contient pas la classe de 1.

Les seules possibilités sont donc {0}x{0}, Z/4ZxZ/4Z et {0}xZ/4Z qui n'en est pas une puisqu'elle ne contient pas (1,1).

Est-ce que c'est bon ?
J'ai beaucoup détaillé mais c'est pour voir si ça va !
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[invite4ef352d8]

Salut !

"Je vais d'abord montrer que les sous anneaux de A sont les B=IxJ où I et J sont tous les deux des sous anneaux de Z/4Z." ceci est faux il me semble, par exemple, l'ensemble des element diagonaux (de la forme (x,x) ) forme un sous anneaux, et n'est pas un produit de deux sous anneaux

[invitebb921944]

Mhhh...
Alors les produits de sous anneaux fonctionnent mais il y en aurait d'autres ? Comment les trouver ? A quels "éléments diagonaux" fais-tu allusion ?

[invite4ef352d8]

ce que j'apelle element diagonaux sont les elements de la forme (x,x) : (0,0),(1,1),(2,2),(3,3).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Je me demande si ce n'est pas le seul.
On peut le construire effectivement facilement en disant que (0,0) et (1,1) sont dans le sous-anneau, donc (1,1)+(1,1)=(2,2) aussi et de même pour (3,3) et comme (4,4)=(0,0) on retombe sur nos pattes.
Je vais essayer d'en trouver d'autres.
Si quelqu'un avait une méthode générale je suis preneur !

[invite4ef352d8]

c'est assez facile de trouver l'ensemble des groupe additif, et de regarder ensuite lesqu'elles sont stable pour la multiplication.

sauf erreur, les groupes additif sont soit :ceux a deux element génerer par un element d'ordre 2, soit ceux à 4 element génerer par 1 element d'ordre 4, ou deux elements d'ordre 2 indépendant, soit ceux a 8 elements génerer par 1 element d'ordre 4 et un element d'ordre 2 independant.

[invite35452583]

Les seules possibilités sont donc {0}x{0}, Z/4ZxZ/4Z et {0}xZ/4Z qui n'en est pas une puisqu'elle ne contient pas (1,1).

{0}x{0} est un anneau mais n'est pas un sous-anneau car ne contient pas l'unité (1;1) (on est "chez" les anneaux unifères ou non mais pas à moitié).

Sinon soit B un sous-anneau de A=Z/4Z x Z/4Z, son image par le morphisme projection sur la 1ère composante p : A->Z/4Z p(x,y)=x est un sous-anneau de Z/4Z contenant p(1,1)=1 donc égal à Z/4Z. Le noyau est un idéal J ne contenant que des éléments de la forme (0,y) donc de la forme {0}xI où I est un idéla de Z/4Z.
p(x,y)=p(x,x)+p(0,y-x) donc p(x,y)-p(x,x)=p(0,y-x) On a donc p^-1(x)=(x,x)+J pour tout x. Autrement dit B est le sous-ensemble formé par les couples (x,y) tels que y-x soit dans I.
Inversement soit I un idéal de Z/4Z, et B(I)={(x,y); y-x soit dans I}
On a trivialement B contient l'élément neutre et l'élément unité.
On vérifie facilement la stabilité par la somme et opposé. (I+I et -I sont inclus dans I)
(x,y).(x',y')=(xx',yy') avec yy'-xx'=yy'-yx'+yx'-xx'=y(y'-x')+x'(y-x) ce qui est dans I.
{sous-anneaux de A} est en bijection avec {idéaux de Z/4Z}. il ya donc 3 sous-anneaux (si on se restreint aux anneaux unifères).