Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 7 sur 7

Sous anneaux d'un anneau produit



  1. #1
    invite43219988

    Sous anneaux d'un anneau produit


    ------

    Rebonjour tout le monde !
    Je voulais savoir si mon raisonnement est bon !

    Je dois déterminer les sous anneaux de A=Z/4ZxZ/4Z

    Je vais d'abord montrer que les sous anneaux de A sont les B=IxJ où I et J sont tous les deux des sous anneaux de Z/4Z.

    On doit bien entendu avoir B inclu dans A, donc I inclu dans Z/4Z et J inclu dans Z/4Z.

    *Il faut que (B,+) soit un sous-groupe de (A,+)
    Donc il faut que 0 soit dans B, c'est à dire (0,0) soit dans B, c'est à dire 0 soit dans I et dans J
    Soit x=(x1,x2), y=(y1,y2) deux éléments de B.
    Il faut que x-y soit dans B
    x-y=(x1-y1,x2-y2) dans B
    Donc x1-y1 dans I et x2-y2 dans J. (Puisque x1 et y1 étaient dans I, x2 et y2 dans J et que leur différence sont respectivement dans I et J, on peut en déduire que I et J sont des sous groupes de Z/4Z)

    *Soit x=(x1,x2), y=(y1,y2) deux éléments de B
    xy=(x1y1,x2y2) doit être un élément de B, i.e. x1y1 et x2y2 doivent etre respectivement des éléments de I et J.

    *1=(1,1) doit appartenir à B, donc 1 doit appartenir à la fois à I et J.

    On en déduit que les sous anneaux B de A sont les IxJ où I et J sont des sous anneaux de Z/4Z.

    Cherchons les sous anneaux possibles de Z/4Z.
    Si I est un sous anneau de Z/4Z, c'est un sous groupe de Z/4Z, or les seuls sous groupes possibles de Z/4Z sont {0}, Z/4Z et 2Z/4Z.
    {0} est l'anneau nul, Z/4Z est un anneau mais 2Z/4Z n'en est pas un puisqu'il ne contient pas la classe de 1.

    Les seules possibilités sont donc {0}x{0}, Z/4ZxZ/4Z et {0}xZ/4Z qui n'en est pas une puisqu'elle ne contient pas (1,1).

    Est-ce que c'est bon ?
    J'ai beaucoup détaillé mais c'est pour voir si ça va !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ksilver

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    Salut !

    "Je vais d'abord montrer que les sous anneaux de A sont les B=IxJ où I et J sont tous les deux des sous anneaux de Z/4Z." ceci est faux il me semble, par exemple, l'ensemble des element diagonaux (de la forme (x,x) ) forme un sous anneaux, et n'est pas un produit de deux sous anneaux

  4. #3
    invite43219988

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    Mhhh...
    Alors les produits de sous anneaux fonctionnent mais il y en aurait d'autres ? Comment les trouver ? A quels "éléments diagonaux" fais-tu allusion ?

  5. #4
    Ksilver

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    ce que j'apelle element diagonaux sont les elements de la forme (x,x) : (0,0),(1,1),(2,2),(3,3).

  6. #5
    invite43219988

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    Je me demande si ce n'est pas le seul.
    On peut le construire effectivement facilement en disant que (0,0) et (1,1) sont dans le sous-anneau, donc (1,1)+(1,1)=(2,2) aussi et de même pour (3,3) et comme (4,4)=(0,0) on retombe sur nos pattes.
    Je vais essayer d'en trouver d'autres.
    Si quelqu'un avait une méthode générale je suis preneur !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    c'est assez facile de trouver l'ensemble des groupe additif, et de regarder ensuite lesqu'elles sont stable pour la multiplication.

    sauf erreur, les groupes additif sont soit :ceux a deux element génerer par un element d'ordre 2, soit ceux à 4 element génerer par 1 element d'ordre 4, ou deux elements d'ordre 2 indépendant, soit ceux a 8 elements génerer par 1 element d'ordre 4 et un element d'ordre 2 independant.

  9. Publicité
  10. #7
    homotopie

    Re : Sous anneaux d'un anneau produit

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Les seules possibilités sont donc {0}x{0}, Z/4ZxZ/4Z et {0}xZ/4Z qui n'en est pas une puisqu'elle ne contient pas (1,1).
    {0}x{0} est un anneau mais n'est pas un sous-anneau car ne contient pas l'unité (1;1) (on est "chez" les anneaux unifères ou non mais pas à moitié).

    Sinon soit B un sous-anneau de A=Z/4Z x Z/4Z, son image par le morphisme projection sur la 1ère composante p : A->Z/4Z p(x,y)=x est un sous-anneau de Z/4Z contenant p(1,1)=1 donc égal à Z/4Z. Le noyau est un idéal J ne contenant que des éléments de la forme (0,y) donc de la forme {0}xI où I est un idéla de Z/4Z.
    p(x,y)=p(x,x)+p(0,y-x) donc p(x,y)-p(x,x)=p(0,y-x) On a donc p-1(x)=(x,x)+J pour tout x. Autrement dit B est le sous-ensemble formé par les couples (x,y) tels que y-x soit dans I.
    Inversement soit I un idéal de Z/4Z, et B(I)={(x,y); y-x soit dans I}
    On a trivialement B contient l'élément neutre et l'élément unité.
    On vérifie facilement la stabilité par la somme et opposé. (I+I et -I sont inclus dans I)
    (x,y).(x',y')=(xx',yy') avec yy'-xx'=yy'-yx'+yx'-xx'=y(y'-x')+x'(y-x) ce qui est dans I.
    {sous-anneaux de A} est en bijection avec {idéaux de Z/4Z}. il ya donc 3 sous-anneaux (si on se restreint aux anneaux unifères).

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. 2ème loi d'un anneau non commutatif
    Par rajamia dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 29/07/2007, 17h45
  2. diviseurs de zéro d'un anneau
    Par denebe dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 11/06/2007, 13h47
  3. Découverte d'un gigantesque anneau de matière noire !
    Par RSSBot dans le forum Commentez les actus, dossiers et définitions
    Réponses: 25
    Dernier message: 26/05/2007, 01h36
  4. Idéaux d'un anneau
    Par chentouf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 23/05/2007, 00h54
  5. Inversibles d'un anneau
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 06/06/2006, 18h47