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diviseurs de zéro d'un anneau




  1. #1
    denebe

    diviseurs de zéro d'un anneau

    Bonjour,
    Lors de mes lectures, j’ai relevé quelques « différentes approches » (j’écris simplement différentes approches car je ne sais pas trop comment poser mon problème) propos de la divisibilité de 0 et de l’intégrité d’un anneau. Je vais vous citer cinq ouvrages et mes remarques et questions viendront juste après…

    Cours d’Algèbre (Renée Elrik, collection mathématiques second cycle, Ellipses), page2 :
    Soit A un anneau.
    2) Soient a et b deux éléments de A ; on dit que a divise b et on écrit alors a|b, s’il existe c appartenant à A-{0} tel que ac=b (la condition c<>0 n’a bien sûr de raison d’être que si b=0).
    3) On dit que A est intègre si A est différent de {0} et si le seul diviseur de 0 est 0, c’est-à-dire, si le produit de deux éléments non nuls de A est non nul.

    Les-mathematiques.net (http://www.les-mathematiques.net/b/c/b/node2.php3:
    Définition [Diviseurs de 0, anneaux intègres, éléments nilpotents]
    1. Un élément est dit diviseur à gauche de 0 s'il existe b<>0 tel que .
    Un élément est dit diviseur à droite de 0 s'il existe b<>0 tel que .
    Un élément est dit diviseur de 0 s'il est à la fois diviseur à gauche de 0 et diviseur à droite de 0.
    Un anneau est dit sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 ou de diviseur à droite de 0 autre que 0 lui-même.
    2. Un anneau est dit intègre si:
    il est de cardinal >1
    il est commutatif
    il est sans diviseur de 0
    Remarques :
    Tout anneau comporte un diviseur de 0 à gauche, un diviseur de 0 à droite, et un diviseur de 0 tout court; il s'agit de 0 lui-même. Un anneau sans diviseur de 0 ne signifie donc pas que l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0.
    Un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 autre que 0. En effet, si n'admettant pas de diviseur à gauche de 0 admet un diviseur à droite de 0 autre que 0, alors pour et non nul, ce qui contredit le fait que 0 n'ait pas de diviseur à gauche.
    De même, un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à droite de 0 autre que 0.
    Un anneau est sans diviseur de 0 si ou .

    Exercices d’Algèbre (Aviva Szpirglas, collection enseignement des mathématiques, Cassini), page199:
    Un diviseur de zéro à droite (resp. à gauche) de l’anneau A est un élément a de A, non nul, tel qu’il existe un élément b de B non nul vérifiant ba=0 (resp. ab=0). Un anneau est intègre s’il ne contient aucun diviseur de zéro.

    Algèbre pour l’agrégation interne (Patrice Tauvel, Mason), page58 :
    Soit A un anneau et a un élément de A.
    ii) On dit que a est un diviseur de 0 à gauche (resp. à droite) s’il est non nul, et s’il existe b de A* tel que ab=0 (resp. ba=0). Un diviseur de zéro est un diviseur de zéro à gauche ou à droite.
    iii) L’anneau A est dit intègre s’il est non nul et sans diviseur de zéro.

    Dans de multiple ouvrage, par exemple Algèbre Groupes et Anneaux tome1 (D.Guin, collection mathémathiques de la licence à l’agrégation), page 136 :
    Soient A un anneau commutatif, a et b deux éléments de A. On dit que a divise b, ou que a est un diviseur de b, et on écrit a|b, s’il existe un élément c de A tel que b=ac.
    Un anneau A non nul est intègre si :
    Pour tout a et tout b de A, ab=0 => (a=0 ou b=0).
    Si l’anneau A n’est pas intègre, des éléments non nuls a et b tel que ab=0 sont appelés des diviseurs de zéro.

    Voilà ma question. Dans mes 5 citations nous avons :
    dans la première : 0 est considéré comme diviseur de zéro, et l’intégrité de l’anneau joue sur le fait que le seul diviseur de zéro est 0 lui-même ;
    dans la seconde : un anneau est dit sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 ou de diviseur à droite de 0 autre que 0 lui-même. Un anneau est dit intègre si il est de cardinal >1, il est commutatif et il est sans diviseur de 0
    Ainsi, 0 est un diviseur de 0, mais lorsque l’on parle de l’intégrité de l’anneau, on ne doit pas le considérer comme diviseur de 0 ;
    dans la troisième : 0 n’est pas un diviseur de zéro ;
    dans la quatrième :0 n’est pas un diviseur de 0 ;
    dans la cinquième : 0 peut être un diviseur de 0, mais pas lorsque l’on parle de la non intégrité d’un anneau.

    Alors voilà, apparemment, on considère 0 comme diviseur de 0 suivant le contexte et l’auteur, non ?

    Cordialement,
    Denebe.

    -----


  2. #2
    homotopie

    Re : diviseurs de zéro d'un anneau

    Citation Envoyé par denebe Voir le message
    Alors voilà, apparemment, on considère 0 comme diviseur de 0 suivant le contexte et l’auteur, non ?
    Ben... oui
    Les définitions d'anneau intègre restent équivalentes.

  3. #3
    denebe

    Re : diviseurs de zéro d'un anneau

    Bonjour,

    Merci de ta participation.
    J'ai posté dans un autre forum également (les mathématiques.net), j'ai eu la même réponse. Donc dorénavant je prendrai en considération l'auteur et le contexte.

    Quant à définir l'intégrité d'un anneau, oui, il n'y a aucun soucis...

    En complément à tout cela, je rajoute que dans le cas d'une division euclidienne (qui ne s'applique donc pas à tous les anneaux), peu importe "a" élément de A, 0 ne sera jamais un diviseur de "a", car le reste de cette division euclidienne devrait vérifier 0=<r<0. Ce qui est impossible.


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