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TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier



  1. #1
    raptor77

    TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier


    ------

    Bonjour les amis j'ai un petit problème avec cet exercice
    soit n un entier naturel au moins égal à dont la décomposition en facteurs premiers est donnée par n=P1P2...Pr...

    où P1, P2, ...Pr sont des nombres premiers deux à deux disctincts et , ,...,
    On note D(n) le nombre de diviseurs positifs de n
    Après avoir décris l'ensemble des diviseurs de n montrer que
    D(n)=(+1)(+2)*...*(+1)
    Montrer que D(n) est impair si et seulement si n est impair
    Montrer que n est un carré parfait et que le prdouit de tous les diviseurs de n est

    Je bloque complétment sur cet exercice même si j'ai réussi à faire les apllications
    Merci d'avance pour votre aide
    Cordialement Raptor

    -----
    On ne naît pas humain on le devient

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  3. #2
    Antho07

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Pour répondre à la premiere question, je propose un petit exemple pour voir ce qui se passe.

    Par exemple prenons le nombre N=2^3*4^2

    Combien admet il de diviseur?

    il admet comme divisieur:




    mais aussi




    puis





    puis





    donc en tout 12 diviseur
    (2+1)*(3+1)

    Le +1 provient de la puissance 0 qui faut prendre en compte

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Citation Envoyé par raptor77 Voir le message
    D(n)=(+1)(+2)*...*(+1)
    +1, non ?

    Edit : Bon, truc qui sert vachement avec ce qu'a fait Antho

    Sinon, au lieu de la manière intuitive, tu peux montrer ça par récurrence.

    Avec comme cas de base n = 1 et n =
    Et pour la récurrence, tu ajoutes un facteur
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    raptor77

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    +1, non ?

    Bon, truc qui sert vachement avec ce qu'a fait Antho

    Sinon, au lieu de la manière intuitive, tu peux montrer ça par récurrence.

    Avec comme cas de base n = 1 et n =
    Et pour la récurrence, tu ajoutes un facteur
    Je comprends pas trp comment tu peux faire avec la récurrence?
    On ne naît pas humain on le devient

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    La récurrence porte sur le nombre de diviseurs, en fonction des valuations p adiques (les alpha) des diviseurs.
    L'hypothèse de récurrence sera : D(n)=...
    Quand tu multiplies par un diviseur avec un "alpha" quelconque, tu prouveras qu'il y a D(n)*([cet alpha]+1) diviseurs, en faisant la méthode d'Antho, où tu prouves que tu ajoutes un certain nombre de diviseurs.

    Arf...je suis sûre que ce n'est pas clair...autant faire une méthode que tu comprennes en fait
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  8. #6
    raptor77

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    oui c'est alpha 2 +1
    On ne naît pas humain on le devient

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  10. #7
    Antho07

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    La récurrence porte sur le nombre de diviseurs, en fonction des valuations p adiques (les alpha) des diviseurs.
    L'hypothèse de récurrence sera : D(n)=...
    Quand tu multiplies par un diviseur avec un "alpha" quelconque, tu prouveras qu'il y a D(n)*([cet alpha]+1) diviseurs, en faisant la méthode d'Antho, où tu prouves que tu ajoutes un certain nombre de diviseurs.

    Arf...je suis sûre que ce n'est pas clair...autant faire une méthode que tu comprennes en fait
    Pour tenter d'éclaircir.

    La récurrence va porter sur le nombre de nombre premier qu'il existe dans la décomposition en facteur premier d'un nombre.

    Initialisation:
    Un seul facteur premier(P1) à une puissance n1.
    Donc N=P1^{n1}

    il admet comme divisieur:



    ..
    ..
    =N

    soit n1+1 diviseurs et cela vérifie la formule.



    Supposons la formule vrai pour un nombre admettant q nombre premier dans sa décomposition chacun à une puissance ni

    donc N s'écrit
    N=P1^n1 * P2^n2 * ... *Pq^nq.

    On sait par hypothese de recurrence que ce nombre admet (n1+1)*(n2+2)*...*(nq+1) diviseurs.

    SOit maintenant un nombre admettant q+1 nombres premiers...

    ce nombre s'écrit N * Pq+1^nq+1.

    Combien ce nombre admet de diviseur,
    ben
    Pq+1^0 * D(n)
    Pq+1^1*D(n)
    ..
    Pq1^n*d(n)

    soit en tout d(n)*(n(q+1) + 1) ce qui montre la formule



    ouaou sa a lair super clair.

    chaud a expliquer clairement sa lol

  11. #8
    raptor77

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    je pense que ta démonstration est un peu compliqué à mon niveau est-ce que ya pas un autre moyende le démontrer?
    On ne naît pas humain on le devient

  12. #9
    GalaxieA440

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

    L'éxercice 9 de ce fil pourrait t'aider, regarde la correction ... Tu dois faire un arbre pour montrer vraiment clairement que d(n) = (a1+1)...(ak+1)...
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  13. #10
    Antho07

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    je pense que ce que je vais écrire n'est peut etre pas tres rigoureux mais sera une reponse convenable.

    On prendre un nombre N.
    On le décompose en facteurs premier:




    Quels sont ses diviseurs??


  14. #11
    raptor77

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

    L'éxercice 9 de ce fil pourrait t'aider, regarde la correction ... Tu dois faire un arbre pour montrer vraiment clairement que d(n) = (a1+1)...(ak+1)...
    Comment tu veux représenter un arbe avec autant de variables?

    En plus dans l'exercice ils se servent d'un exemple avec n=2^a*5^b
    Dernière modification par raptor77 ; 10/11/2007 à 21h47.
    On ne naît pas humain on le devient

  15. #12
    Antho07

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Citation Envoyé par Antho07 Voir le message
    je pense que ce que je vais écrire n'est peut etre pas tres rigoureux mais sera une reponse convenable.

    On prendre un nombre N.
    On le décompose en facteurs premier:




    Quels sont ses diviseurs??


    fausse manip je peux plus modifier et j ai pas envie de tout retaper en plus c etais tres bof.

    LE principe c est l arbre.

    Combien on a de choix au niveau puissance pour le premier facteur premier:
    alpha1 + 1 (ne pas oublier la puissance 0)
    Pour le deuxieme alpha2+2
    ...
    pour le nième alpha n +1

    donc au total

    (alpha1 + 1)(alpha2 +2)...(alphan+n)

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  17. #13
    raptor77

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    C'est bon j'ai réussi!!
    je pense ausis réussir le 1)b 1)c 2) a par contre j'ai du mla pour le 2)b :
    Montrer que nD(n) est un carré parfait et que le prdouit de tous les diviseurs de n est racine (nD(n)
    On ne naît pas humain on le devient

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Montrer que D(n) est impair si et seulement si n est impair
    C'est bizarre, parce que si je prends n = 15 (donc impair), n = 3^1*5^1.
    Donc D(n) = 2*2, pair...

    Aurais-je loupé une condition dans l'énoncé ?

    PS : de ce que je sais, la démonstration par récurrence est au programme de la TS ^^
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    GalaxieA440

    Re : TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

    Pour ce qui est de l'arbre, tu ne représentes évidemment pas toutes les branches , tu en laisses en pointillées, mais ça donne un aperçu qui te permet de n'oublier aucune solution... ex 2^a*5^b :

    2^0------------5^0
    2^0------------5^1
    2^0------------ ...
    2^0------------5^b

    2^1------------5^0
    2^1------------5^1
    2^1------------ ...
    2^1------------5^b

    ....

    2^a------------5^0
    2^a------------5^1
    2^a------------ ...
    2^a------------5^b

    Il est donc évident que tu as (a+1) branches principales du bout desquelles partent b+1 branches secondaires, d'ou la formules (a+1)(b+1)...(k+1).

    C'est il me semble un moyen très clair de rédiger....

    Pour ce qui est de la constatation de mimoimolette, j'ai fait pareil hier soir, je pense qu'il faut montrer que Dn ne peut être impair que si n est impair, mais je n'ai pas réussi. Yaurait il une erreur dans l'énnoncé ???
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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