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Questions sur le produit de diviseurs positifs..



  1. #1
    BOBYJOE

    Questions sur le produit de diviseurs positifs..


    ------

    Salut tout le monde, voila un exo d'entrainement au controle sur lequel je bute, et je voulais vous demander un peu d'aide :

    1. Soit l'entier n = 200.

    a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
    b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

    2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

    a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
    N = (a+1)(b+1).

    b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
    c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
    d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42


    -----------------------------------------------------------------

    Pour le 1. ca va.
    Mais le 2 je n'y arrive vraiment pas, je ne sais pas par où commencer..

    Voila si quelqu'un aurait un conseil a me donner .. Merci a vous

    -----

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  3. #2
    DSCH

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Citation Envoyé par BOBYJOE Voir le message

    2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

    a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
    N = (a+1)(b+1).
    Les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; combien de valeurs différentes peut prendre p ? et q ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  4. #3
    BOBYJOE

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; combien de valeurs différentes peut prendre p ? et q ?
    C'est 0<p<a et 0<q<b non?
    Je ne vois pas comment trouver les valeurs..

  5. #4
    DSCH

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Ok à ceci près qu'il s'agit d'inégalités larges. Combien y a-t-il d'entiers entre 0 et a (0 et a inclus) ? Même question entre 0 et b ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    BOBYJOE

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Ok à ceci près qu'il s'agit d'inégalités larges. Combien y a-t-il d'entiers entre 0 et a (0 et a inclus) ? Même question entre 0 et b ?
    Entre 0 et a, il y a 'a' entiers, entre 0 et b, il y a 'b' entiers ?

  8. #6
    DSCH

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Peux-tu compter les entiers entre 0 et 5 sur les doigts d'une main ? 0, 1, 2,…
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  9. Publicité
  10. #7
    BOBYJOE

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Peux-tu compter les entiers entre 0 et 5 sur les doigts d'une main ? 0, 1, 2,…
    Nan il y en a 6, d'accord je comprend il y en a 5 + 1
    Donc il y a a+1 et b+1 pour mon exemple.

    Et après, pour les déterminer ces diviseurs, omment je fais? car pour calculer P, il me les faut non?

  11. #8
    BOBYJOE

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Citation Envoyé par BOBYJOE Voir le message
    Nan il y en a 6, d'accord je comprend il y en a 5 + 1
    Donc il y a a+1 et b+1 pour mon exemple.

    Et après, pour les déterminer ces diviseurs, omment je fais? car pour calculer P, il me les faut non?
    Le produit P je pense avoir trouvé :

    pour p=0 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
    pour p=1 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
    pour p=2 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
    ...
    pour p=a on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
    finalement tu a (a+1) fois (b+1) diviseurs, donc on a (a+1)(b+1) diviseurs

    Pour le produit de ces diviseurs, on sait que, pour un nombre donné x et deux exposants k et l, x^k.x^l=x^(k+l). Pour comprendre ce qui se passe pour P, on prend le cas simple a=2, b=3. Tu as :
    P=(2^0.5^0).(2^0.5^1).(2^0.5^2 ).(2^0.5^3).(2^1.5^0).(2^1.5^1 ).(2^1.5^2).(2^1.5^3).(2^2.5^0 ).(2^2.5^1).(2^2.5^2).(2^2.5^3 )
    Maintenant on regroupe les puissances de 2 et de 5 et faisant la somme des exposants :
    P=2^(0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2). 5^(0+0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3)
    Ou encore :
    P=2^(4.(0+1+2)).5^(3.(0+1+2+3) )
    Et tu sais que 0+1+2=2.3/2=2
    et 0+1+2+3=3.4/2=6
    et plus généralement
    0+1+2+...+n=n(n+1)/2
    Finalement, pour le cas simple :
    P=2^12.5^18
    Et pour le cas général :
    P=2^((q+1)p(p+1)/2)).5^(p+1)q(q+1)/2)).


    Mais pour le 3. et le 4. je ne suis pas plus avancé..

  12. #9
    BOBYJOE

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    Pour le 2)c. afin de prouver si l'égalité (1) est encore vraie, faut-il calcuer p² ?
    Car si P=2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)).
    Alors P²=[2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)]²
    P²= 2^(a+1)a(b+1).5^(a+1)b(b+1)

    Or n^N = (2^a * 5^b)^((a+1)(b+1)) = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))

    Donc p² = n^N

    C'est correct vous pensez?

    Pour le 2)d.
    p = 20^42
    p² = 20^84
    donc n^N = 20^84 = 2^a * 5^b

    Mais la je ne sais par où commencer ma simplification... :s

  13. #10
    Roxanepp

    Re : Questions sur le produit de diviseurs positifs..

    je ne comprend pas d'ou viennent les lettres p et q...
    merci por votre aide

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