Questions sur le produit de diviseurs positifs..

[invited6f327c1]

Salut tout le monde, voila un exo d'entrainement au controle sur lequel je bute, et je voulais vous demander un peu d'aide :

1. Soit l'entier n = 200.

a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
N = (a+1)(b+1).

b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42


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Pour le 1. ca va.
Mais le 2 je n'y arrive vraiment pas, je ne sais pas par où commencer..

Voila si quelqu'un aurait un conseil a me donner .. Merci a vous
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[invite03f2c9c5]

2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
N = (a+1)(b+1).

Les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; combien de valeurs différentes peut prendre p ? et q ?

[invited6f327c1]

Les diviseurs de n sont de la forme 2^p*5^q ; combien de valeurs différentes peut prendre p ? et q ?

C'est 0<p<a et 0<q<b non?
Je ne vois pas comment trouver les valeurs..

[invite03f2c9c5]

Ok à ceci près qu'il s'agit d'inégalités larges. Combien y a-t-il d'entiers entre 0 et a (0 et a inclus) ? Même question entre 0 et b ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6f327c1]

Ok à ceci près qu'il s'agit d'inégalités larges. Combien y a-t-il d'entiers entre 0 et a (0 et a inclus) ? Même question entre 0 et b ?

Entre 0 et a, il y a 'a' entiers, entre 0 et b, il y a 'b' entiers ?

[invite03f2c9c5]

Peux-tu compter les entiers entre 0 et 5 sur les doigts d'une main ? 0, 1, 2,…

[invited6f327c1]

Peux-tu compter les entiers entre 0 et 5 sur les doigts d'une main ? 0, 1, 2,…

Nan il y en a 6, d'accord je comprend il y en a 5 + 1
Donc il y a a+1 et b+1 pour mon exemple.

Et après, pour les déterminer ces diviseurs, omment je fais? car pour calculer P, il me les faut non?

[invited6f327c1]

Nan il y en a 6, d'accord je comprend il y en a 5 + 1
Donc il y a a+1 et b+1 pour mon exemple.

Et après, pour les déterminer ces diviseurs, omment je fais? car pour calculer P, il me les faut non?

Le produit P je pense avoir trouvé :

pour p=0 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=1 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
pour p=2 on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
...
pour p=a on a b+1 valeurs possibles de q, de 0 à b
finalement tu a (a+1) fois (b+1) diviseurs, donc on a (a+1)(b+1) diviseurs

Pour le produit de ces diviseurs, on sait que, pour un nombre donné x et deux exposants k et l, x^k.x^l=x^(k+l). Pour comprendre ce qui se passe pour P, on prend le cas simple a=2, b=3. Tu as :
P=(2^0.5^0).(2^0.5^1).(2^0.5^2 ).(2^0.5^3).(2^1.5^0).(2^1.5^1 ).(2^1.5^2).(2^1.5^3).(2^2.5^0 ).(2^2.5^1).(2^2.5^2).(2^2.5^3 )
Maintenant on regroupe les puissances de 2 et de 5 et faisant la somme des exposants :
P=2^(0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2). 5^(0+0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3)
Ou encore :
P=2^(4.(0+1+2)).5^(3.(0+1+2+3) )
Et tu sais que 0+1+2=2.3/2=2
et 0+1+2+3=3.4/2=6
et plus généralement
0+1+2+...+n=n(n+1)/2
Finalement, pour le cas simple :
P=2^12.5^18
Et pour le cas général :
P=2^((q+1)p(p+1)/2)).5^(p+1)q(q+1)/2)).


Mais pour le 3. et le 4. je ne suis pas plus avancé..

[invited6f327c1]

Pour le 2)c. afin de prouver si l'égalité (1) est encore vraie, faut-il calcuer p² ?
Car si P=2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)).
Alors P²=[2^((a+1)a(b+1)/2)).5^(a+1)b(b+1)/2)]²
P²= 2^(a+1)a(b+1).5^(a+1)b(b+1)

Or n^N = (2^a * 5^b)^((a+1)(b+1)) = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))

Donc p² = n^N

C'est correct vous pensez?

Pour le 2)d.
p = 20^42
p² = 20^84
donc n^N = 20^84 = 2^a * 5^b

Mais la je ne sais par où commencer ma simplification... :s

[invite0d5fafa4]

je ne comprend pas d'ou viennent les lettres p et q...
merci por votre aide