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Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.



  1. #1
    Choupette4657

    Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.


    ------

    Bonsoir,

    J'essaye de terminer un exercice, mais les démonstrations sont quelque chose de difficile pour moi.

    Pouvez vous m'aidez ? voici l'ennoncé :

    1 ) Démontrer que pour tout réel,



    2 ) En déduire que pour tout entier

    et obtenir [1]

    3) a) De la même façon, démontrer que pour tout entier ,
    [2]

    b) Démontrer à partir de [2] que pour tout entier ,
    [3]

    4) Obtenir à l'aide de [1] et [3] l'encadrement :
    Pour tout entier ,


    5) v est la suite définie pour tout entier par :


    a) Démontrer que pour tout entier :


    b) en déduire que la suite v converge vers e
    _______________

    pour l'instant je comprend a peine le sujet :

    j'ai fais ceci :

    1)




    donc

    Après je sais pas comment finir. quelqu'un peut m'aider à comprendre ? j'aimerais la faire seule mais comme toutes les questions sont dépendantes je suis concée.

    Merci beaucoup si vous pouvez juste m'éclaircir peu à peu le sujet.

    -----

  2. #2
    VegeTal

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Bonsoir,

    Ce que je te proposes :

    1)Étudiez la fonction sur pour montrer quelle est toujours négative.

    2)très facile en partant de et en prenant .

    3)Pareil en prenant
    Pour la suite je te tiens au courant
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  3. #3
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    Oui. En mettant les deux termes au même dénominateur on obtient et il n'y a pas besoin de passer par la dérivée seconde pour étudier le signe de .

  4. #4
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Merci pour toutes ces réponses, voici maintenant ce que j'ai fais :

    1)




    Donc , Pour tout x sur
    D'ou, pour tout réel

    2)



    Soit





    , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

    3)
    a)



    Soit






    , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R

    b)

    ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    1) [...]

    Donc , Pour tout x sur
    D'ou, pour tout réel
    Attention, n'est pas toujours négatif (prends pour t'en rendre compte).
    De toute façon, même si était négatif pour tout cela ne te permettrait pas forcément d'en déduire que .
    Pour prouver que est négative, on t'a suggéré d'étudier ces variations : admet-elle un maximum ? Que vaut-il ? Conclusion ?
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    2)



    Soit





    , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R
    D'accord.
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    3)
    a)



    Soit






    , car la fonction exponentielle est strictement croissant sur|R
    Euh il y a des « - » qui se sont transformés en « + » dans les deux dernière lignes. Au lieu de tu devrais avoir (d'ailleurs il y a une coquille dans l'énoncé donné au message #1, le résultat a trouvé est bien celui-là et pas celui donné à la question 3.a)
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    b)

    ?
    Il y a un problème de signe dans la première ligne (copier/coller ?) mais la seconde ligne est correct. Pour poursuivre tu peux utiliser ceci : .

  7. #6
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Euh il y a des « - » qui se sont transformés en « + » dans les deux dernière lignes. Au lieu de tu devrais avoir (d'ailleurs il y a une coquille dans l'énoncé donné au message #1, le résultat a trouvé est bien celui-là et pas celui donné à la question 3.a)
    oui je me suis trompée pardon

    c'est bien au 3a)

    - - -

    ça progresse peu à peu :

    1)




    Après étude de fonction j'en arrive à ceci :

    Si [
    Si

    croissante sur
    strictement décroissante sur
    admet un maximum en 0
    Donc

    D'ou, pour tout réel

    2)


    Soit





    , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

    3)
    a)


    Soit







    , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

    b) Même avec votre aide je n'arrive pas trouver l'astuce

  8. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    ça progresse peu à peu :

    1)




    Après étude de fonction j'en arrive à ceci :

    Si [
    Si

    croissante sur
    strictement décroissante sur
    admet un maximum en 0
    Donc
    Oui car .

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    2)


    Soit





    , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R

    3)
    a)


    Soit







    , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur|R
    D'accord.
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    b) Même avec votre aide je n'arrive pas trouver l'astuce
    À la question 3.a tu as montré que c'est-à-dire que . Cette expression est valable pour autrement dit pour .

    À la question 3.b on te demande d'utiliser (valable pour ) pour montrer que (valable pour ). Vois-tu comment faire pour passer de la première inégalité à la seconde ?

  9. #8
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Hypothèse de récurrence ?

  10. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    Hypothèse de récurrence ?
    Non, c'est plus simple que cela. Tu as dû remarquer que les deux inégalités se ressemblent beaucoup. Là où il y a un dans la première, on trouve un dans la seconde. Là où il y a dans la première, on trouve un dans la seconde. Cela nous donne envie de poser (donc ). La première inégalité qui est


    devient alors (en remplaçant par )


    c'est-à-dire

    .

    Cette égalité est bien celle que l'on souhaitait montrer.

  11. #10
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    D'accord.

    c'est bien ceci pour la "4)" ?

    4)
    On sait que :


    si et seulement si

    On sait aussi que



    d'ou

  12. #11
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    c'est bien ceci pour la "4)" ?
    Oui. N'oublie pas de préciser les valeurs de pour lesquelles les inégalités que tu écris sont valables.

  13. #12
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Pardon

    4)
    On sait que :

    Pour

    si et seulement si

    On sait aussi que

    Pour


    d'ou , Pour

    5)

    donc
    Si et seulement si

    comment prouver ?

  14. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    comment prouver ?
    En utilisant dont on tire (avec ).

  15. #14
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    En utilisant dont on tire (avec ).
    a)



    je coince toujours, je suis impardonnable !



    b)







    converge vers

  16. #15
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    a)

    donc .

    Factorise le terme , la suite ne devrait pas poser de problème.
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    je coince toujours, je suis impardonnable !
    Je ne donne pas beaucoup d'indications non plus...

    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    b)
    Euh pourquoi ne pars-tu pas de ?

    Une question intermédiaire pour t'aider : montrer que la suite définie par converge vers 0.
    Citation Envoyé par Choupette4657 Voir le message
    converge vers
    On ne dit pas qu'une suite converge vers . Soit une suite admet une limite finie et dans ce cas on dit qu'elle converge. Soit elle n'admet pas de limite finie et dans ce cas on dit qu'elle diverge. Une suite tendant vers n'admet pas de limite finie donc elle diverge vers .

  17. #16
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.


    donc




    On sait que


    Donc

    D'ou,


    conclusion

  18. #17
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    C'est correct !

  19. #18
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    Soit




    D'après le théorème des gendarmes



    Donc

    Conclusion la suite v converge vers e

  20. #19
    Flyingsquirrel

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    C'est de nouveau correct.

  21. #20
    Choupette4657

    Re : Problème de démonstration avec les fonctions ln & exp.

    J'ai terminée mon exercice

    Merci beaucoup !

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