Démonstration de exp(a+b) = exp(a) * exp(b)

[Nox]

Bonjour !

Malgré mes recherches sur le Web et sur ce forum, je n'ai pas trouvé de démonstration de l'égalité du titre ...
Bien sûr je ne veux pas utiliser les formules de trigo cos(a+b) et sin(a+b), ou alors il faudrait elles aussi me le démontrer sans utiliser les exponentielles (logique...)

Si vous avez des idées, merci de répondre !

Cordialement,

Nox
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[indian58]

tu prends quoi comme définition de l'exponentielle?

[Nox]

Au choix bijection réciproque de ln ou unique solution de l'équadiff pour l'instant peu m'importe ...

Mais si on utilise les propriétés algébriques de ln il faudrait me les démontrer

Cordialement,

Nox

[invite5843342c]

somme sur n de 1 a l'infini /n! et le fait que cette suite converge uniformement

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

C'est ce que j'allais dire mais à première vue, Nox ne connait pas cette défnition. On peu le faire en partant de l'équa diff mais tu admet l'unicité de la solution.

[invite5843342c]

pourtant j'en connais pas d'autres moi !!!

[Quinto]

somme sur n de 1 a l'infini /n! et le fait que cette suite converge uniformement

Sur tout compact de R (ou de C), parce que la convergence n'est pas uniforme sur R.

[martini_bird]

Salut,

Bien sûr je ne veux pas utiliser les formules de trigo cos(a+b) et sin(a+b), ou alors il faudrait elles aussi me le démontrer sans utiliser les exponentielles (logique...)

On peut démontrer les formules d'addition par exemple en utilisant le produit scalaire.

Sinon, en établissant la relation log(a.b)=log a+log b, ta formule se démontre aisément en prenant pour définition de l'exponentielle la réciproque du log népérien.

Cordialement.

[invite53092cbc]

En fait, Nox, je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer :
Tu dois savoir que x^a+b = x^a*x^b et bien là, x = e.

[martini_bird]

En fait, Nox, je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer :
Tu dois savoir que x^a+b = x^a*x^b et bien là, x = e.

Ah ben oui et puis on sait bien que donc et 1=-1...

Plus sérieusement, la relation est loin d'être triviale dès que x, a et b ne sont plus des entiers.

Cordialement.

[invite8e9bfb01]

bnjour à tous

En fait, Nox, je ne comprends pas ce qu'il faut démontrer :
Tu dois savoir que x^a+b = x^a*x^b et bien là, x = e.

en terminale, cette formule x^a+b = x^a x^b n'est démontrée que pour a et b appartenant à l'ensemble Q, or l'exponentielle vérifie la relation e^a+b = e^a . e^b pour a et b appartenant à IR.

Pour la démontrer, on utilise la relation: ln (x.y) = ln x + ln y (qu'on peut démontrer en cherchant les primitives de la fonction f telle que f(x) = ln a.x avec a , x des réels strictement positifs), pour cela on pose:
a = ln x , b = ln y , on aura donc: x = e^a , y = e^b

On calcule alors la somme : a + b
a + b = ln x + ln y, et donc: a + b = ln (x y) ce qui implique que :
x . y = e^a+b d'une part
et d'autre part : x . y = e^a . e^b

en conclusion :
e^a+b = e^a . e^b CQFD

Cordialement

[Nox]

Bonjour !

Pour la démontrer, on utilise la relation: ln (x.y) = ln x + ln y (qu'on peut démontrer en cherchant les primitives de la fonction f telle que f(x) = ln a.x avec a , x des réels strictement positifs),

C'est justement cela que j'attendais ! (je sais utiliser des bijections pour faire la suite ). Mais avec cet indice je vais pouvoir m'y atteler !

Sinon je connaissais la définition de l'exp avec la somme (c'est ni plus ni moins son DL...) mais je ne vois pas ce que vous voulez dire par converge uniformement et son application à ma démonstration ...

Cordialement,

Nox

[invitea8d97425]

je ne vois pas ce que vous voulez dire par converge uniformement et son application à ma démonstration ...

Si t'es en terminale, ne t'inquiète pas, tu verras ça plus tard.
Pour faire simple, on va dire que la série (de limite la somme infinie) exponentielle converge "suffisament bien" pour que l'on puisse faire des échanges de sommes finies et infinies sans écrire de bêtises. Avec un binôme de Newton (et en connaissant le produit de Cauchy...) ça passe tout seul.

[invite8e9bfb01]

Pour la démontrer, on utilise la relation: ln (x.y) = ln x + ln y (qu'on peut démontrer en cherchant les primitives de la fonction f telle que f(x) = ln a.x avec a , x des réels strictement positifs)

Pardon, je me suis trompé en disant que pour démontrer cette relation il faut chercher les primitives de la fonction f telle que f(x) = ln ax, c'est plus simple que ça.

On sait que : ln x est une primitive de 1/x , et la fonction f telle que f(x) = ln ax (a , x réels strictement positifs) est aussi une primitive de 1/x car : f ' (x) = a / ax (dérivée d'une fonction composée) et donc : f ' (x) = 1/x (en simplifiant par a)

alors : ln ax = ln x + C (relation entre primitives)
en prenant : x = 1, on aura : C = ln a

en conclusion : ln ax = ln x + ln a

d'où la relation : ln x y = ln x + ln y (x , y réels strictement positifs)

[Nox]

Bonjour !

il suffit juste de dire que 1/t=a/(at) pour tout a non nul et intégrer ceci entre 1 et x non ? A ce moment là aucun problème ! Merci de vos infos !

Sinon ithilian je viens de finir une année de pcsi et donc maintenant en pc mais pour newton no pb par contre le produit de cauchy ne me dit rien... après une rapide recherche sur le net j'ai trouvé ce que cela signifiait mais la je pars en vacs donc je n'ai pas le temps de m'en occuper je regarderai ca a tete reposée en revenant fin aout ...
Encore merci pour votre aide !

Cordialement,

Nox

[Quantic star]

Bonjour ! (je suis un peu en retard mais je donne maméthode quand même)

Pour d&émontrer ça cette année (en terminale) on n'utilise absolument pas ln. En fait on pose g(x) = exp(x+a) / exp(x). On étudie cette fonction g, en la dérivant on trouve qu'elle est constante sur R et donc pour tout x réél g(x) = g(0) = exp(a).
Ce qui nous donne en fin de compte : exp(a) = exp(x+a) / (exp (x).
En posant x = b, on retombe bien sur la formule que l'on cherchait à démontrer c'est-à-dire : exp(a+b) = exp(a) * (exp(b).

[Scorp]

somme sur n de 1 a l'infini /n! et le fait que cette suite converge uniformement

Effectivement, a mon avis, il n'y a que cette définission qui permet de démontrer rigoureusement exp(a+b) = exp(a) * exp(b).
En prenant d'autre définition (réciproque de ln par exemple), j'ai bien peur que l'on tourne en rond.
Mais la définission (la somme part bien de zéro et non pas de 1 comme la dit limitinfiny) n'est pas au programme avant le BAC (c'est pourtant LA définission de l'exponentielle, car beaucoup plus générale : valable notament pour toute algèbre [cf exponentielle de matrice])

[b@z66]

Effectivement, a mon avis, il n'y a que cette définission qui permet de démontrer rigoureusement exp(a+b) = exp(a) * exp(b).
En prenant d'autre définition (réciproque de ln par exemple), j'ai bien peur que l'on tourne en rond.
Mais la définission (la somme part bien de zéro et non pas de 1 comme la dit limitinfiny) n'est pas au programme avant le BAC (c'est pourtant LA définission de l'exponentielle, car beaucoup plus générale : valable notament pour toute algèbre [cf exponentielle de matrice])

En quoi la démonstration utilisant la réciproque de ln est elle mauvaise? Elle se base sur les propriétés du ln et des liens avec sa fonction réciproque e. J'ai du mal à y voir un manque de rigueur de part la simplicité du raisonnement.

D'autre part, quelle est la méthode pour démontrer que le développement en série de la fonction exponentielle converge uniformément vers cette même fonction ?


Sinon, si c'est juste une question de différentes définitions de la fonction exponentielle se basant sur différentes de ses propriètés, je ne vois pas pourquoi une définition serait meilleure qu'une autre...surtout quand on se borne à certaines utilisations comme en terminale.

[Scorp]

En quoi la démonstration utilisant la réciproque de ln est elle mauvaise? Elle se base sur les propriétés du ln et des liens avec sa fonction réciproque e. J'ai du mal à y voir un manque de rigueur de part la simplicité du raisonnement.

Qu'entend tu par propriété du ln ? Si tu veux dire que ln(xy)=ln(x)+ln(y) alors ca revient à admettre la propriété que tu veux démontrer pour l'exponentielle (et non pas à la démontrer, mais c'est mon point de vue ca).

D'autre part, quelle est la méthode pour démontrer que le développement en série de la fonction exponentielle converge uniformément vers cette même fonction ?

Tu peux le montrer en cherchant les solutions sous forme de série entière de l'équa diff f'-f=0 avec R>0 (ou alors utiliser l'inégalité de Taylor Lagrange, ca doit marcher aussi). On sait alors qu'il y a convergence uniforme à l'intérieur du compact [-R;R], c'est-à-dire ]-R;R[. Or R=+oo pour l'exp, il y a donc bien convergence uniforme de la série sur . On déduit ensuite les propriétés de l'exponentielle avec les propriétés de la série. On ne les admet donc pas implicitement dès le début

Sinon, si c'est juste une question de différentes définitions de la fonction exponentielle se basant sur différentes de ses propriètés, je ne vois pas pourquoi une définition serait meilleure qu'une autre...surtout quand on se borne à certaines utilisations comme en terminale.

Si tu prend l'exponentielle d'une matrice par exemple, je ne vois pas bien comment tu peux la définir en prenant la réciproque du ln, sans passer un moment ou l'autre par une définission par une série. Par contre, je suis entièrement d'accord avec le fait que tout ceci n'est pas du niveau de la terminale, c'était juste pour faire remarqué que selon moi (je ne suis pas expert en math non plus, je ne dis que mon point de vue) il n'y a pas de démonstration rigoureuse du niveau terminale (c'est_à-dire sans admettre plus ou moins implicitement le résultat dès le début)

[invitea8d97425]

D'autre part, quelle est la méthode pour démontrer que le développement en série de la fonction exponentielle converge uniformément vers cette même fonction ?

Ya encore mieux : la série converge normalement sur tout compact de R , puisque sur tout intervalle de la forme [-A,A], le terme général de la série est majoré par A/n!, terme général d'une série convergente...
Bon, comme ça on a la CVU sur tout compact de R, mais ça doit suffire en général...

Enfin bon, là on y va un peu fort, on est sur le forum "collège et lycée"...

[b@z66]

Qu'entend tu par propriété du ln ? Si tu veux dire que ln(xy)=ln(x)+ln(y) alors ca revient à admettre la propriété que tu veux démontrer pour l'exponentielle (et non pas à la démontrer, mais c'est mon point de vue ca).

On a pas besoin d'admettre la propriété de l'exponentielle pour démontrer cette formule. Si tu lisais vraiment les posts comme celui mis à disposition par hbenalia (post #14), tu t'en serais toi-même rendu compte. Je l'avais moi-même fait à titre d'exercice quand j'étais en terminale et franchement les seules bases à utiliser sont:
-ln(1)=0
-ln: primitive de 1/x et
-les bases en calculs différentiels

je ne vois pas où apparait la fonction exponentielle dans cela.

La fonction expentielle ensuite vient du ln tout simplement en la définissant comme sa fonction réciproque et rien d'autre.

Tu peux le montrer en cherchant les solutions sous forme de série entière de l'équa diff f'-f=0 avec R>0 (ou alors utiliser l'inégalité de Taylor Lagrange, ca doit marcher aussi). On sait alors qu'il y a convergence uniforme à l'intérieur du compact [-R;R], c'est-à-dire ]-R;R[. Or R=+oo pour l'exp, il y a donc bien convergence uniforme de la série sur . On déduit ensuite les propriétés de l'exponentielle avec les propriétés de la série. On ne les admet donc pas implicitement dès le début

C'est toi qui fait des raisonnements qui se mordent la queue.

Si tu prend l'exponentielle d'une matrice par exemple, je ne vois pas bien comment tu peux la définir en prenant la réciproque du ln, sans passer un moment ou l'autre par une définission par une série. Par contre, je suis entièrement d'accord avec le fait que tout ceci n'est pas du niveau de la terminale, c'était juste pour faire remarqué que selon moi (je ne suis pas expert en math non plus, je ne dis que mon point de vue) il n'y a pas de démonstration rigoureuse du niveau terminale (c'est_à-dire sans admettre plus ou moins implicitement le résultat dès le début)

C'est pour cela que je parlais des utilisations que l'on en fait. On a pas besoin de faire des exponentielles de matrices en terminale et pourtant on arrive très bien à s'en sortir avec la définition de l'exponentielle que l'on y utilise et les formules qui en découlent (dont celle que tu sembles indiqué qu'il faut une définition plus générale pour y arriver).

[b@z66]

Enfin, pour en revenir à la définition de fonctions, je ne dis pas que ta définition de l'exponentielle comme un développement en série est mauvaise mais simplement que l'on utilise cette définition de l'exponentielle ou que l'on utilise la définition du ln comme une primitive de 1/x (et le fait que l'on considère ln et e comme des fonctions réciproques), conduit exactement aux mêmes formules d'où le fait que l'on peut déduire une des deux définitions de l'autre et vice-versa. Les deux définitions sont donc tout à fait équivalentes et finalement il n'existe pas une définition unique à partir de laquelle, on peut tout déduire mais plusieurs qui n'en forment qu'une seule: celle qui décrit simplement les propriétés des deux fonctions.

[Scorp]

Ha vi désolé, j'avais bien zappé le post de hbenalia #14 . Effectivement, je ne connaissait pas cette démonstration qui ne fait pas intervenir l'exponentielle et qui semble être du niveau terminal. Bravo à hbenalia pour la démo et à b@z66 pour me l'avoir signalé

C'est toi qui fait des raisonnements qui se mordent la queue.

Par contre, je n'ai pas compris cette remarque. Le rayon de convergence est une caractéristique de la série et non de l'exponentielle (mais ma phrase dans le post précédent est assez ambigüe à propos de ca, je l'accorde)
En tout cas la prochaine fois, j'essaierais de respecter le niveau Collège/Terminale de la rubrique.