exp(x) + x = 0 ???

[inviteedb947f2]

Comment résoudre cette équation ?
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

on ne peut pas.

ou plutot la solution ne s'exprime pas par des fonctions usuelle.

tous ce qu'on peut dire c'est que cette équation admet une unique solution, qu'elle est négative et en obtenir un encadrement (par une bete étude de fonction...)

numériquement on peut calculer ca valeur : -0.5671432904

sinon, il existe une fonction spécial qui permet de résoudre de telle equation, la fonction W de Lambert, mais elle est assez compliqué...

[inviteedb947f2]

Merci beaucoup, je suis encore en Maths Sup MPSI donc je connais pas la fonction dont tu me parle mais tu m'enleve une belle épine du pied !

Encore merci !

[Bleyblue]

sinon, il existe une fonction spécial qui permet de résoudre de telle equation, la fonction W de Lambert, mais elle est assez compliqué...

Juste par curiosité, ça permet vraiment de trouver la solution exacte ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Autant que la fonction ln permet de trouver la solution exacte de exp(x) = 1

[invite4ef352d8]

exp(x)=1 ce ressoud assez bien sans ln

disons plutot exp(x)=2 ^^


bien oui, la solution exacte est -W(1), ca n'avance pas beaucoup les choses quoi !

[invite9c9b9968]

exp(x)=1 ce ressoud assez bien sans ln

Ah tiens ? Et c'est quoi la réponse ? Sans à un moment ou à un autre passer au logarithme ?

[invite4ef352d8]

et bien jusqua preuve du contraire exp(0)=1

[Bleyblue]

Je vois, c'est drôle comme bazard
Je verrai ça dans pas trop longtemps au cours j'espère (quoique à mon avis ça ne sera pas avant l'an prochain)

enfin, merci

[invite578a92be]

Je vois, c'est drôle comme bazard
Je verrai ça dans pas trop longtemps au cours j'espère (quoique à mon avis ça ne sera pas avant l'an prochain)

enfin, merci

Ou pas, mais de toute façon ça sert à rien. T'as l'impression d'en savoir plus quand tu mets sous forme d'une fonction usuelle mais de toute façon tu ne connais pas sa valeur non plus

@Gwyddon : manque de sommeil?

[Bleyblue]

Bah de toute façon je suis matheux, pas ingénieur
Que ça serve ou pas peu importe

merci

[invite9c9b9968]

et bien jusqua preuve du contraire exp(0)=1

En fait j'insiste sur les définitions du logarithme et de l'exponentielle, qui sont liées. Le fait de dire exp(0)=1 est une définition.... Bref j'avoue que mon message n'est pas super bien passé.

Remarque, je peux essayer de me rattraper : même en sachant que exp(0)=1, tu n'as pas résolu ton équation : qui te dit qu'il n'y a pas d'autres réels qui vérifient cela ? Alors soit tu utilises un argument de bijectivité, et c'est gagné, soit tu passes au logarithme. En fait, dans les deux cas tu passes au logarithme, puisque le logarithme est la réciproque de l'exponentielle.

Tu vois donc que j'avais raison dans ce que je te disais : tu ne peux rien faire sans la fonction logarithme


J'espère que cela va vous faire réfléchir, même ce qui paraît simple ne l'est pas forcément...

[invite578a92be]

Moi je ne suis pas d'accord avec toi. Si tu veux passes au log pour résoudre cette équation et ça te montrera qu'il n'y a qu'une seule solution x=0.

Tu es passé au log mais tu as une solution exacte. La différence avec exp(x)=2 c'est que tu exprimes ton résultat en fonction du log que tu ne connais pas, comme avec -W(1).

[invite35452583]

Salut,
Gwyddon je comprends (enfin je pense ce que tu veux dire) mais cela pose un problème de définition :
1) l'exponentielle est définie comme la réciproque de ln qui elle-même est définie comme la primitive sur R+* s'annulant en 1 de la fonction x->1/x alors Ok avec toi
2) l'exponentielle est définie comme l'unique solution à l'équation différentielle y'=y y(0)=1 alors l'utilisation du ln est inutile on montre l'injectivité de exp par sa stricte croissance.
Il y a encore d'autres possibilités de définir l'exponentielle, par exemple : morphisme de (R,+) dans (R*,x) tq dérivée en 0=1 (on peut montrer que c'est dérivable et que le morphisme est défini à un paramètre près), d'accord celle-là revient à comment faire compliqué quand on peut faire simple
Les divers points de vue se complètent, là où je ne te suis pas c'est que tu sembles faire une exclusivité de la 1ère.

[inviteaf1870ed]

Je crois me souvenir qu'on m'avait défini (au lycée !) l'exponentielle comme la solution de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), avec f continue. Avec cette définition, on a f(0)=1 sans passer par le log.

[invite88ef51f0]

Salut,
Personnellement, la définition que j'ai vue au lycée (et je pense que c'est encore celle en cours) est la première donnée par homotopie : réciproque de ln.

[invite6b1e2c2e]

Je crois me souvenir qu'on m'avait défini (au lycée !) l'exponentielle comme la solution de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), avec f continue. Avec cette définition, on a f(0)=1 sans passer par le log.

Salut,

On a aussi f = 0 qui est solution.

D'accord, je pinaille

__
rvz, qui de toute façon part de la définition série entière, parce qu'après tout pourquoi pas ? Et Rudin fait comme ça, alors ...

[invite35452583]

Salut,
Personnellement, la définition que j'ai vue au lycée (et je pense que c'est encore celle en cours) est la première donnée par homotopie : réciproque de ln.

Perso, moi aussi.

Je crois me souvenir qu'on m'avait défini (au lycée !) l'exponentielle comme la solution de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y), avec f continue. Avec cette définition, on a f(0)=1 sans passer par le log.

Ton équation fonctionnelle revient à dire que f est un morphisme continu de groupe (bref ""ma"" 3ème définition). On se dispense de f(0)=1 mais on a un paramètre à fixer quand même (x->a^x convient pour tout a>0)

Je ne sais pas si la méthode d'introduction de l'exponentielle est imposée. La 3ème voie que j'ai indiquée est plus laborieuse mais un enseignant peut la préférer en Tle car bâtie sur moins de théorème admis (existence de primitive, théorème des valeurs intermédiaires, au moins pour la voie "ln", existence et unicité de solutions aux éq diff pour la 2nde). L'extension de Q à R de cette fonction exige également d'admettre des résultats mais au moins elle est définie rigoureusement sur une partie dense.

[invite22a185a6]

Bonjour,
je pensais que le meilleur moyen de définir l'exponentielle correctement (sur C) était de passer par son développement en série (qui permet de définir les fonctions trigo etc) les autres méthodes de définition proposées ici s'étendent t'elles à C et peut retrouver les fonctions trigo par ce moyen?
Pour le morphisme ca doit etre encore bon en prenant (C,+)->(C*,*)
mais quid de sin cos?

[inviteaf1870ed]

Ton équation fonctionnelle revient à dire que f est un morphisme continu de groupe (bref ""ma"" 3ème définition). On se dispense de f(0)=1 mais on a un paramètre à fixer quand même (x->a^x convient pour tout a>0) .

Oui, bien sûr !

[invitea7fcfc37]

Bonsoir,

Juste une rectification au niveau du programme, exp n'est plus définie comme la réciproque de ln, mais comme l'unique fonction f dérivable sur R, telle que f'=f et f(0)=1.

[inviteaf1870ed]

sinon, il existe une fonction spéciale qui permet de résoudre de telles équations, la fonction W de Lambert, mais elle est assez compliquée...

pour la fonction de Lambert, voir ce lien :
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

[invite9c9b9968]

Les divers points de vue se complètent, là où je ne te suis pas c'est que tu sembles faire une exclusivité de la 1ère.

En fait je n'en fais pas une exclusivité

Au début, ma réflexion portait sur le terme "solution exacte", et je n'ai manifestement pas choisi la bonne équation pour illustrer cela

Pour moi, la solution ln(2) pour exp(x) = 2 est tout aussi "exacte" que ne l'est 0 pour exp(x) = 1, ou encore pour l'équation x²-1 =0 ou bien dans ... See what I mean ?

[invite35452583]

Pour moi, la solution ln(2) pour exp(x) = 2 est tout aussi "exacte" que ne l'est 0 pour exp(x) = 1, ou encore pour l'équation x²-1 =0 ou bien dans ... See what I mean ?

I guess I see but zero is more sympathic, no ?

[invite9c9b9968]

Là je ne dis pas le contraire

[invite0207283b]

Salut,
Personnellement, la définition que j'ai vue au lycée (et je pense que c'est encore celle en cours) est la première donnée par homotopie : réciproque de ln.

Apparemment ça a changé


Maintenant c'est le contraire, de ce que j'ai pu voir en TS, on apprend d'abord la définition de la fonction expo, sans utilisation de logarythme (en apparence), ses règles de calculs, sa RG et ses limites, puis bien sûr on voit des cas d'applications.
Et ensuite en toute fin, on présente la fonction logarythme népérien comme sa réciproque (voir symétrique par rapport à y=x).

[inviteedb947f2]

Dans mon cours de MPSI cette année, on a donné comme définition de exp :

L'unique solution de l'équadiff y'=y avec pour CI y(0)=1.

[invitea7fcfc37]

C'est la même définition que celle de mon message précédent