Intégrales généralisées

[Nox]

Bonjour !

Je galère pour un exo ...

Il faut montrer que l'intégrale de 0 à 1 de ln(x)/(1-x²) est égale à la somme de la série de terme général -1/(2n+1)² ...

Je voulais utiliser l'intégration terme à terme mais le problème est pour n=0 : la suite de fonctions que j'ai utilisée est de fn(x) =x^(2n)*ln(x) et en n=0 on a f0 qui n'est pas continue par morceaux parce que le ln tend vers l'infini donc pas prolongeable par continuité ... Je galère pour utilser d'autre méthode (poser un alpha a la place de 0 dans l'intégrale, couper en 1/2 ...)

Si vous pouviez ne serait-ce que me donner un indice ce serait cool ...

Merci d'avance ...

Cordialement,

Nox
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[inviteae1ed006]

Bonjour,
Je ne comprends pas trop le problème, est intégrable sur [0;1]...

[Nox]

Pourrais tu expliciter ta pensée s'il te plaît ? Je me doute qu'il va falloir utiliser cette propriété mais je ne vois pas comment ...

Je m'explique : dans l'énoncé de mon théorème il faut que mes fonctions soient continues par morceaux et intégrables .. Or ln est intégrable mais non ccontinue par morceaux ...

Cordialement,

Nox

[inviteae1ed006]

La suite de fonction est de signe constant, on peut utiliser Beppo Levi, non ?
ou de la convergence dominée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nox]

Beppo Levi m'est totalement inconnu ...

Et pour la convergence dominée j'ai aussi l'hypothèse continue par morceaux ...

Ca m'énerve de bloquer sur un tout petit détail : le fait que le ln ne soit pas prolongeable par continuité en 0 ... Sinon est-ce que je peux outrepasser le fait que au rang ca ne marche pas pour l'hypothèse continue par morceaux mais qu'elle est quand meme intégrable ... ? (en fait je ne vbois pas à quoi sert l'hypothèse continue par morceaux dans ce théorème ...)

Cordialement,

Nox

[inviteae1ed006]

Sinon tu peux dire que avec .
(f_0 et g étant intégrables) et tu appliques ton théorème à g...

[Nox]

Rebonsoir !

J'ai hésité à le faire mais si tu le pe,ses aussi no pb ! (avec un peu de reflexion d'aileurs c'est logique...)


Merci !

Cordialement,

Nox