Coordonnées généralisées

[invite63840053]

Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre comment choisir mes coordonnées généralisées dans le cadre de la mécanique Lagrangienne.
Est-ce que pour un mouvement contraint les coordonnées généralisées sont celles qui n'apparaissent pas dans les contraintes du mouvement ?
Par exemple pour un pendule faisant un mouvement dans le plan (Oxy) en coordonnée cylindrique et dont le rayon ne varie pas, on a deux contraintes évidente qui sont :
et
Si j'ai envie de passer en coordonnées généralisées, cela voudrait dire que , , et ne dépendent que de ?
Dans mon cours, lorsqu'on écrit le Lagrangien en coordonnées généralisées on suppose que ce sont toutes les coordonnées "normales" qui dépendent des .

Je n'arrive pas à comprendre comment passer de l'un à l'autre, et surtout comment les utiliser "proprement". Quelqu'un pourrait m'aider ?
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[invite5e34a2b4]

Si j'ai envie de passer en coordonnées généralisées, cela voudrait dire que , , et ne dépendent que de ?
Dans mon cours, lorsqu'on écrit le Lagrangien en coordonnées généralisées on suppose que ce sont toutes les coordonnées "normales" qui dépendent des .

Salut, j'ai peut-être pas très bien compris ta question.
Mais lorsque tu dis que , , et ne dépendent que de , t'as tout à fait raison :

- est une fonction constante de :
- est une fonction constante de :
- dépend uniquement de lol.

[invite63840053]

En fait je me demande comment "remplacer" les coordonnées "normales" par les coordonnées généralisées.

[invite5e34a2b4]

En fait je me demande comment "remplacer" les coordonnées "normales" par les coordonnées généralisées.

Ben disons qu'il faut savoir les deviner lol.

Bon, il y a quand même certains théorèmes qui nous aident : par exemple, on sait qu'un système de N points matériels (3N coordonnées) soumis à k contraintes holonômes a 3N-k coordonnées généralisées.
Donc pour un tel système, on sait déjà combien de coordonnées généralisées il faut trouver. Dans ton exemple, il n'y en a qu'une.

Après, il faut savoir les trouver : on peut commencer à chercher du côté des coordonnées qu'on a l'habitude d'utiliser : cartésiennes, cylindriques etc.

Dans l'exemple du pendule, par exemple, on ne peut pas choisir une des coordonnées cartésiennes x ou y, parce qu'à un x ou un y donné correspondent 2 positions du pendule.
Donc, on va voir du côté des coordonnées polaires où là, on voit que r est constant, et que donc, la position du pendule ne dépend que de .

Mais bon, c'est pas toujours aussi simple : par exemple, dans le cas d'un solide indéformable "libre", on démontre à l'aide du théorème précédent qu'il y a 6 coordonnées généralisées. Et pourtant, les coordonnées de 2 points ne suffisent pas à décrire la position du solide ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec859637e]

Je dirais aussi que si on sait paramétrer la surface/courbe sur laquelle est contraint notre système, on a directement nos coordonnées généralisées.
Si par exemple un point matériel est contraint à rester sur une surface quelconque, paramétrée par 2 variables donc (ie une application de dans ), on prend comme coordonnées généralisées les 2 variables du paramétrage de la surface.
Pour le pendule, la courbe paramétrée est , on prend donc comme coordonnée.