Coordonnées généralisées et Lagrangien

[invite4b31cbd7]

Bonjour, j'ai deux petites questions bien simples :

1)D'abord, est-ce que les coordonnées généralisées sont obligées d'être indépendantes ?

2)Ensuite, est-ce que l'on a le droit d'écrire un Lagrangien avec des coordonnées généralisées non indépendantes ?

(c'est tu juste les équations d'Euler-Lagrange qui doivent être écrites avec des coordonnées indépendantes ? (ou en utilisant des multiplicateur de Lagrange))
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[Karibou Blanc]

1)D'abord, est-ce que les coordonnées généralisées sont obligées d'être indépendantes ?

par définition oui.

2)Ensuite, est-ce que l'on a le droit d'écrire un Lagrangien avec des coordonnées généralisées non indépendantes ?

Ben on peut toujours mais la premiere chose à faire à mon avis et d'exprimer la coordonnée non indépendante en terme des autres et réécrire le lagrangien.

[invite4b31cbd7]

Par définition ? Est-tu sur ?

Wikipedia dit : Generalized coordinates include any nonstandard coordinate system applied to the analysis of a physical system, especially in the study of Lagrangian mechanics. The name is a holdover from a period when Cartesian coordinates were the standard system.

[invitefa5fd80c]

Bonjour, j'ai deux petites questions bien simples :

1)D'abord, est-ce que les coordonnées généralisées sont obligées d'être indépendantes ?

Par définition, les coordonnées généralisées sont tout ensemble de variables permettant de spécifier l'état d'un système physique.

En général, on choisit les coordonnées généralisées de façon à ce qu'elles soient indépendantes les unes des autres. Mais ce n'est pas obligatoire. Dans le cas de contraintes non-holonomes par exemple, on ne peut trouver de coordonnées généralisées qui soient toutes indépendantes les unes des autres.

2)Ensuite, est-ce que l'on a le droit d'écrire un Lagrangien avec des coordonnées généralisées non indépendantes ?

Quand on utilise un Lagrangien, c'est dans le but d'obtenir les équations d'Euler-Lagrange (du moins en mécanique classique; en EDQ on l'utilise aussi dans les intégrales de chemin de Feynman mais j'en connais trop peu à ce sujet pour aller dans cette direction).

Pour obtenir les équations d'Euler-Lagrange, il faut que l'on puisse considérer les variations des coordonnées généralisées comme étant indépendantes les unes des autres. Par conséquent, en général, il faut que les variables généralisées soient indépendantes les unes des autres. Cependant, pour certaines contraintes non-holonomes, on peut introduire la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour réduire le nombre d'équations et n'avoir que des déplacements virtuels indépendants les uns des autres.

Pour plus de détails, voir par exemple Herbert Goldstein, Mécanique classique, Presses Universitaires de France, 1964 (pages 45-49)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

Merci beaucoup !

[Gwyddon]

Quand on utilise un Lagrangien, c'est dans le but d'obtenir les équations d'Euler-Lagrange (du moins en mécanique classique; en EDQ on l'utilise aussi dans les intégrales de chemin de Feynman mais j'en connais trop peu à ce sujet pour aller dans cette direction).

Même en théorie quantique des champs le but est d'écrire les équations d'Euler Lagrange, ou au moins identifier l'impulsion et la réinjecter dans l'hamitonien, utiliser les invariances du lagrangien et faire le théorème de Noether, etc...

[invitefa5fd80c]

Même en théorie quantique des champs le but est d'écrire les équations d'Euler Lagrange, ou au moins identifier l'impulsion et la réinjecter dans l'hamitonien, utiliser les invariances du lagrangien et faire le théorème de Noether, etc...

Oui tout à fait (c'est pourquoi d'ailleurs j'ai dit: "on l'utilise aussi dans les intégrales de chemin de Feynman"). Il me semble que c'est principalement Schwinger qui a développé la formulation canonique de l'EDQ.

C'est quand même fascinant que ce type de formalisme (lagrangien et hamiltonien) qui a été élaboré dans le cadre de la physique de Newton ait survécu à la révolution quantique. En fait ce formalisme est applicable dans les deux théories les plus fondamentales dont l'on dispose à l'heure actuelle: la Relativité générale et la Théorie quantique des champs. Cela donne nettement à penser que le principe d'Hamilton, bien plus qu'un heureux "accident" mathématique, est la loi physique la plus fondamentale qui soit.

[invite9403726f]

Salut a tous

Bon, merci pour les renseignements, donc les actions des chemins interviennent comme une phase dans l’intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives et donc tendent à s’annuler, sauf dans le cas des chemins proches du chemin physique classique où les contributions s’ajoutent.

Il s’ensuit que l’intégrale de chemin prend la valeur de l’action classique, indiquant que la mécanique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l’échelle macroscopique! n'est-ce-pas


amicalement

[invitefa5fd80c]

Salut a tous

Bon, merci pour les renseignements, donc les actions des chemins interviennent comme une phase dans l’intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives et donc tendent à s’annuler, sauf dans le cas des chemins proches du chemin physique classique où les contributions s’ajoutent.

Il s’ensuit que l’intégrale de chemin prend la valeur de l’action classique, indiquant que la mécanique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l’échelle macroscopique! n'est-ce-pas


amicalement

Salut,

C'était le sujet de thèse de doctorat de Feynman. Ils en parlent un peu à cet endroit: http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin

En gros, l'amplitude de probabilité pour qu'une particule se rende du point (r₁,t₁) au point (r₂,t₂) est proportionelle à la somme sur tous les chemins permis de la quantité :



où est l'action classique évalué sur le chemin C.

Dans le cas classique, la différence de entre deux chemins, même très rapprochés, est excessivement plus grande que et donc en général les contributions des différents chemins s'annulent. Seules les contributions des chemins très voisins de la trajectoire sur laquelle est stationnaire contribuent constructivement les unes avec les autres: c'est l'origine du principe de moindre action (principe d'Hamilton).

Le cas quantique se présente lorsque la différence de entre deux chemins devient comparable à .

Amicalement

[invite9403726f]

Salut a tous


Merci bien popol pour ton coup main!!

amicalement

[Karibou Blanc]

salut,

Il s’ensuit que l’intégrale de chemin prend la valeur de l’action classique, indiquant que la mécanique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l’échelle macroscopique! n'est-ce-pas

C'est ce qu'on appelle une limite "semi-classique". L'integrale de chemins permet de retrouver la mécanique classique dans la limite ou les fluctuations quantiques sont négligeable (ie lorsque h tend vers zero). Néanmoins on ne retrouve pas exactement la mécanique classique puisque l'integrale de chemin définit une amplitude de probabilité, concept purement quantique (meme lorsque h tend vers zero) qui n'existe pas en mécanique classique.

KB
(qui trouve déplacé qu'on usurpe l'identité d'un grand physicien décédé...)

[invite9403726f]

Salut a tous

Merci bien karibou blanc pour le complement!!

Cool!!


amicalement

[bendesarts]

Bonjour,

Sur ce sujet (déjà posté il y a longtemps), j'ai une petite question toute simple. Quelle est la définition "des coordonnées généralisées"? Pour moi, c'est seulement un jeu de coordonnées permettant de décrire le système. En méca (plus précisement mécanique multicorps), on peut par exemple utiliser des coordonnées généralisées relatives (strict ou complète) ou encore absolu. Puis, ces coordonnées peuvent être indépendantes ou dépendantes suivant si l'on a à faire à un système bouclé ou suivant si l'on utilise ou pas un paramétrage absolu.
Dans tous les cas, il s'agit de "coordonnées généralisées". Y a-t-il une subtilité de plus à savoir au niveau de la définition "des coordonnées généralisées"?
Merci pour votre retour.

[interferences]

Bonjour,

Mathématiquement je dirais :
Famille de coordonnées libre et génératrice (donc base) de l'ensemble de tous états géométrique du système.

Mais je suis pas sûr

Au revoir