[DM] Démonstration de théorème sur la fonction Exp

[invite1ca886bb]

Bonsoir, j'ai un dm en 4 exercice :

Exercice 3 :

On utilisera uniquement les résultats suivants sur la fonction exponentielle pour répondre aux questions posées :
La fonction exponentielle, notée exp, dérivable sur R, est solution de y' = ky avec y(0)=1, et sa courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abcisses.

1) Soit n un entier relatif et f la fonction définie sur R par f(x)= [exp(nx)]/{[exp(x)]^n}

2) En déduire que, pour tout réel x : exp (nx) = [ exp (x)]^n

Voilà j'ai fait les autres exo mais là j'avoue bloqué
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[invite9c9b9968]

On te demandes quoi exactement à la première question ? Je suppose qu'il s'agit de montrer que f est constante, mais il serait bon de savoir...

[invite1ca886bb]

Oups ça a été mangé, la question 1) :

1) Soit n un entier relatif et f la fonction définie sur R par f(x)= [exp(nx)]/{[exp(x)]^n}. Déterminer la fonction dérivée de f.

Je sais bien que exp'(x) = exp mais pourtant je bloque..

[invite9c9b9968]

C'est pourtant du cours

Tu ne saurais pas par hasard comment on dérive un quotient de fonctions dérivables non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1ca886bb]

j'essaye encore avec (u/v)' = (u'v-uv')/v²

[invite1237a629]

Salut

Ce qu'on aurait pu te dire dans l'énoncé, c'est que exp(kx) est solution de l'équation différentielle y' = ky, c'est plus précis que de dire "fonction exp"

De là, tu auras la dérivée de exp(nx) et tu as juste à appliquer la formule dite plus haut

La deuxième question te semblera alors évidente. Enfin j'espère ^^

[invite1ca886bb]

Merci pour votre aide !!
Donc j'ai commencé la question 1 en dérivant avec la forme (u/v)' = (u'v-uv')/v² mais aussi à l'intérieur :
(e^u)' = u' e^u
ainsi que (u^n)' = n * u' * u^(n-1)

Voilà donc j'ai trouvé un quotien de la forme 0/v² avec v = [exp(x)]^(2n)

Par contre malgrès ton explication MiMoiMolette j'arrive pas à déduire de mon calcul de dérivée la réponse à la 2).. Le pire c' que je sais d'après mon cours que la question 2 est vrai mais on doit faire abstraction de la démonstration qu'elle nous a filé.

[invite9c9b9968]

Alors là y a un souci, tu as fait le plus dur... Ça t'inspire quoi, une fonction qui a sa dérivée nulle ?

[invite1ca886bb]

Bha qu'elle est constante ^^
Haaaaaaaaaa or on sait que y(0)=1 donc y(x)=1 ? et donc pour que f(x)=1,
exp (nx) = [ exp (x)]^n ?!

[invite9c9b9968]

Je pense que tu as trouvé la réponse à ta question