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Démonstration de théorème




  1. #1
    bbdoll

    Démonstration de théorème

    Bonsoir,
    J' ai égaré une partie de mon cour sur les suites() où il y' avait des théorèmes que je voulais apprendre .
    Je voulais savoir si vous pouviez me donner l' énoncé et les démos de ces théorèmes s' il vous plaît?
    (c'est dans le chapitre des suites): critère spécial des suites monotones, limite des suites extraites et théorème des segments emboîtés)

    -----

    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

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  3. #2
    lolouki

    Re : Démonstration de théorème

    Il faudrait en dire un peu plus lol ^^
    Moi je suis en L1 j'ai fait un cours sur les suites ... il y a bcp de demos !!
    va voir ds la bibliotheque de cours, tu trouveras ce sue tu cherches je pense

  4. #3
    nissart7831

    Re : Démonstration de théorème

    Oui, regarde dans la bibliothèque FSG de maths. Il y a aussi sur le web des sites de maths qui exposent les théorèmes et leurs démonstrations.
    Mais en premier, regarde dans ton bouquin de maths ou un autre.


  5. #4
    supernico999

    Re : Démonstration de théorème

    Oui il faudrait en effet en dire un peu plus pour qu'on t'aide...
    Mais voici quand même quelques propositions: (je considère les suites réelles)
    - Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
    - Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l
    - Toute suite bornée a une valeur d'adhérence dans R (ie il existe une suite extraite qui converge)
    - Si In est une suite de segments emboités non vides dont le diamètre tend vers 0, alors l'intersection des In pour n décrivant N est un singleton.

    Et pour les démos, j'ai pas le courage

  6. #5
    bbdoll

    Re : Démonstration de théorème

    Ok merci, je trouve rien sur internet, en fait c' est trop compliqué, on ne l' avait pas vu comme ça. Mais votre première définition me parle plus "Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
    - Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l" Je comprend que vous soyez fatigué, mais en fait les démos m' interessaient plus, c' est pas grave. Je vous remercie quand même.
    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bbdoll

    Re : Démonstration de théorème

    Ok merci, je trouve rien sur internet, en fait c' est trop compliqué, on ne l' avait pas vu comme ça. Mais votre première définition me parle plus "Une suite monotone converge dans R ou diverge vers plus ou moins l'infini.
    - Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l"
    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

  9. #7
    matthias

    Re : Démonstration de théorème

    Tu peux nous rappeler ton niveau bbdoll ? Ce sera plus facile pour cibler les théorèmes et donner des démonstrations compréhensibles.

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  11. #8
    bbdoll

    Re : Démonstration de théorème

    ok, je suis en première année de prépa pcsi. Mais je l' ai mis.
    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

  12. #9
    lolouki

    Re : Démonstration de théorème

    "- Si une suite converge vers l, alors toute suite extraite converge vers l"
    Pour cette démonstration tu utilises tout simplement la defnition de la limite.

    Soit e>0,tu as un rang Ne telque si n>=Ne alors |Un- L|<e

    Or une sous suite est de la forme Us(n) avec s(n) une application strictement croissante croissante de N ds N.

    donc : n>Ne =>s(n)> s(Ne)

    Or s(n)>=n (lemme d'une application croissante)
    donc S(n)>Ne et |Us(n)- L |<e.

    J'espere avoir été clair

  13. #10
    homotopie

    Re : Démonstration de théorème

    La plupart de ces résultats sur les suites réelles repose sur le fait que R est complet.
    Je suppose admis (ou plutôt déjà démontré) le fait que R est complet : toute suite de Cauchy réelle converge.
    Le théorème des suites adjacentes :
    Si 1) suite croissante, suite décroissante
    2)
    3)
    alors convergent vers une même limite l.

    Preuve :
    est une suite de Cauchy :
    Pour n et p, on a donc
    Donc

    converge donc vers une limite l.

    converge vers l, en effet :
    pour n, on a or les deux suites et convergent vers 0.

    Le théorème des segments emboîtés s’en déduit immédiatement. L’équivalence est évidente.
    Théorème des suites adjacentes -> théorème des segments emboîtés On prend pour les bornes de ces segments
    théorème des segments emboîtés-> Théorème des suites adjacentes On prend comme segments .

    Toute suite bornée admet au moins une valeur d’adhérence.
    Preuve :
    Soit m un minorant et M un majorant. On pose et , s(0)=0, L=M-m.
    On a ; et contient une infinité de termes de la suite

    Supposons que l’on ait pu construire , , jusqu’à un rang m tels que :
    et contienne une infinité de termes de la suite pour tout ,
    de plus pour tout

    On considère i le milieu de ,
    Si contient une infinité de termes de la suite , on pose et
    Sinon contient une infinité de termes de la suite (car l’union des deux segments et en contient une infinité) , dans ce cas on pose et
    On vérifie facilement que les hypothèses de récurrence sont vérifiées.

    On a ainsi construit deux suites adjacentes et (ou des segments emboîtés) qui convergent vers une certaine limite l.
    On pose s(0)=0
    Pour chaque n, on pose s(n)=min (k>s(n-1) ; est dans ).
    C’est bien défini car il y a une infinité de termes vérifiant la seconde condition et la première n’en retire au plus qu’un nombre fini. s est strictement croissante par construction donc est une suite extraite.
    est une suite encadrée par les deux suites adjacentes donc converge vers l.

    Pour la converge des suites croissantes bornées, la seule difficulté est de montrer l’existence de la borne supérieure (à moins que cela ne soit déjà fait). Cela peut se faire avec le théorème des suites adjacentes. Ce dernier pouvant se montrer en utilisant l’existence de la borne supérieure…
    A un moment on tourne en rond car toutes ses propositions sont équivalentes à R complet, et c’est alors affaire de goût, voir d’humeur : après avoir pris un point de départ dans son enseignement pendant 2, 3 ans on a certainement envie de changer l’année suivante… ton prof a peut-être (certainement) utilisé une autre méthode pour montrer ces différents théorèmes.

  14. #11
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Bonjour,

    (pour homotopie principalement, mais aussi pour la culture générale)

    Ça c'est amusant. Parce que R est justement construit pour être complet (cf. coupures de Dirichlet p.ex.). En fait, c'est le complété de Q pour la topologie usuelle (qui n'est pas la seule possible: comme je dis souvent, il y en a une infinité dénombrable, plus une, "la" usuelle).

    Je trouve limite malhonnête de munir R de la topologie induite par les intervalles ouverts, pour ensuite "s'apercevoir", ô miracle, qu'il est complet... mais après tout, la fin justifie les moyens, non?

    -- françois

  15. #12
    matthias

    Re : Démonstration de théorème

    L'utilisation des réels ayant précédé la construction rigoureuse de R et la topologie, je ne trouve pas la démarche particulièrement malhonnête.

  16. #13
    homotopie

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par fderwelt
    Bonjour,

    (pour homotopie principalement, mais aussi pour la culture générale)

    Ça c'est amusant. Parce que R est justement construit pour être complet (cf. coupures de Dirichlet p.ex.). En fait, c'est le complété de Q pour la topologie usuelle (qui n'est pas la seule possible: comme je dis souvent, il y en a une infinité dénombrable, plus une, "la" usuelle).

    Je trouve limite malhonnête de munir R de la topologie induite par les intervalles ouverts, pour ensuite "s'apercevoir", ô miracle, qu'il est complet... mais après tout, la fin justifie les moyens, non?

    -- françois
    Bonjour,

    Il y a une définition de R : c'est l'unique corps archimédien complet.
    Il y a deux voies possibles pour construire R : les coupures de Dirichlet et le quotient des suites de Cauchy rationnelles par les suites convergentes vers 0.
    La construction de R doit encore être au programme de 1ère année post bac, ainsi que la définition exacte de R. (A vérifier)
    Quand ceci est fait, il n'y a donc rien de "malhonnête". On a construit R pour qu'il en soit ainsi explicitement, on ne découvre donc pas qu'un "miracle" a eu lieu.

    D'autre part, pour ce type de corps, complet (base de la construction par les suites de Cauchy) est équivalent au th d'existence de la borne sup des ensembles majorés non vides (base de la construction par les coupures), du th des segments emboîtés ou des suites adjacentes, au th d'existence d'une limite des suites monotones bornées...
    Certains étudiants ne comprennent pas ou mal la construction de R (ils savent quand même que R est construit pour être complet). Ils sont par contre la plupart du temps capables de comprendre le fait que "R n'a pas de trous" (ce que de nombreux th. d'existence illustre d'une façon ou d'une autre).

    Pour compléter ce qui concerne Q, il y a la distance usuelle, les p-évaluations. Les structures topologiques, invariantes par translation sinon pourquoi parler de Q et pas de N, sont toutes des patchworks de celles-ci.
    Il y a ainsi une infinité (dénombrable?) de complétion de Q. Analytiquement une seule est réellement intéressante (l'usuelle) mais algébriquement toutes le sont.

  17. #14
    matthias

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par homotopie
    La construction de R doit encore être au programme de 1ère année post bac, ainsi que la définition exacte de R. (A vérifier)
    Non je ne crois pas. Ni même en deuxième année post bac d'ailleurs ...

  18. #15
    Bloud

    Re : Démonstration de théorème

    Je confirme, la construction et la définition de R ne sont plus au programme de première ou deuxième année post-bac.
    I was born intelligent...education ruined me!

  19. #16
    GuYem

    Re : Démonstration de théorème

    Je confirme même qu'elle n'est VRAIMENT au programme de pas grand chose. On peut passer beaucoup d'années sans en voir une construction complète, du début à la fin, en cours.

    C'est mon cas, on m'a juste dit quelque fois : " c'est compliqué, ya pleins de façons de faire, c'est le complété de Q, regardez dans des bouquins, je vous donnerai un problème là dessus... "
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #17
    matthias

    Re : Démonstration de théorème

    C'est dommage d'ailleurs, c'est intéressant et pas très compliqué.

  21. #18
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par matthias
    L'utilisation des réels ayant précédé la construction rigoureuse de R et la topologie, je ne trouve pas la démarche particulièrement malhonnête.
    C'est vrai. C'est d'ailleurs en cherchant à construire rigoureusement R, en sorte qu'il ait les "bonnes" propriétés auxquelles on s'attendait intuitivement (complétion entre autres), qu'on s'est aperçu qu'il y avait plusieurs manières de faire.

    C'est pour ça que j'ai mis "limite malhonnête", parce qu'on s'est "arrangé" pour obtenir les propriétés voulues a priori... mais c'est hyperclassique en maths (ça s'appelle la formalisation, non?) ! Sinon, j'aurais mis "carrément malhonnête"!

    Maintenant, c'est vrai que R est l'unique corps archimédien complet. Tous les autres complétés de Q ne sont pas archimédiens, d'où des topologies rigolotes. Ou bizarres. Ou pathologiques, ça dépend du point de vue. Mais pour moi (je veux dire, pour les problèmes que je traite), les topologies p-adiques sont bien utiles...

    -- françois

  22. #19
    homotopie

    Re : Démonstration de théorème

    C'est dommage que la construction ne soit plus enseignée. Ceci dit, j'espère que faire comprendre la notion "R n'a pas de trous" est toujours un souci de l'enseignement ainsi que (soyons optimiste) quelque soit la façon de les remplir on retrouve le même espace (en montrant des équivalences entre certains théorèmes d'existence par exemple). C'est ceci, il me semble, qui est le plus important à comprendre.
    Certains enseignants exagèrent quand même quand ils se cachent derrière des "c'est compliqué" (l'idée est en général simple, après c'est technique mais il y a nettement pire) et "il y a plusieurs façons de faire" (déjà une c'est intéressant et c'est le cas de pratiquement tous les théorèmes).

    "R corps archimédien complet" est à comprendre aussi : les corps archimédiens se situent tous entre Q (le plus "troué" de tous) et R (le seul sans trous). Cela ne retire rien à l'intérêt du point de vue "seule complétion de Q conservant le caractère archimédien".

    Sinon, je ne savais pas que les topologies de Q sont en quantité dénombrable. Fderwelt, tu n'aurais pas un lien sur cette question, STP, merci d'avance.

  23. #20
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Bonjour,

    En réponse à homotopie:

    Je suis allé un peu vite en disant qu'il y a un nombre dénombrable de topologies sur Q; ou plutôt, c'est un résumé rapide du fond de ma pensée. Disons que les topologies "intéressantes" (au sens où elles se comportent bien vis-à-vis de l'arithmétique) sont en quantité dénombrable.

    Voir n'importe quelle introduction à la théorie des nombres (p.ex. R.Descombes, Éléments de Théorie des Nombres, PUF). En résumé:

    -- Les seules valeurs absolues sur le corps Q sont la v.a. usuelle, la v.a. triviale, et les v.a. p-adiques (pour p premier).

    -- les v.a. archimédiennes sont (celles qui sont) équivalentes à la v.a. usuelle ;

    -- les v.a. non archimédiennes et non triviales sont les p-adiques (et seulement celles-là).

    N.B.: Deux v.a. sont équivalentes si elles induisent la même topologie,; la topologie induite par une v.a. x -> |x| est celle engendrée par les "boules ouvertes" B(a,r) = {x : |x - a| < r}.

    D'où mon assertion, dont j'excluais implicitement la v.a. triviale.


    -- françois

  24. #21
    martini_bird

    Re : Démonstration de théorème

    Salut,

    pour complétion, c'est le théorème d'Ostrowski.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  25. #22
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par martini_bird
    pour complétion, c'est le théorème d'Ostrowski.
    Oui, du moins dans le cas archimédien.

    Salut,

    -- françois

  26. #23
    martini_bird

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par fderwelt
    Oui, du moins dans le cas archimédien.

    Salut,

    -- françois
    Gné?

    Tu veux dire dans le cas des corps locaux, non? Sinon je ne comprends pas ta remarque.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  27. #24
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par martini_bird
    Gné?

    Tu veux dire dans le cas des corps locaux, non? Sinon je ne comprends pas ta remarque.
    Voui. La version que j'ai du théorème d'Ostrowski dit que les seuls corps locaux (avec je ne sais plus quelles "bonnes" propriétés, j'ai la flemme de regarder à c't'heure )
    sont R (ou C) et les Qp (corps p-adiques).

    Voilà voilà.

    -- françois

  28. #25
    bbdoll

    Re : Démonstration de théorème

    hummhuumm. Enfin bref je les ai retrouvé, je vous remercie.
    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

  29. #26
    matthias

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par bbdoll
    Enfin bref je les ai retrouvé, je vous remercie.
    Euh, oui, il n'est pas impossible que la discution ait légèrement dérivé vers des considérations post BAC+1

  30. #27
    bbdoll

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par homotopie
    Bonjour,


    La construction de R doit encore être au programme de 1ère année post bac, ainsi que la définition exacte de R.
    .
    Non elle ne l' est pas, sinon je voulais savoir si on pouvait définir R par:
    R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0k<1}
    "Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"

  31. #28
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par matthias
    Euh, oui, il n'est pas impossible que la discution ait légèrement dérivé vers des considérations post BAC+1
    Ahem, euh... Tiens, c'est vrai qu'on avait un peu oublié bbdoll dans tout ça... Vous savez ce que c'est, on cause, on cause, et on voit pas le temps passer...

    Pour martini_bird: j'ai vu ton post sur le Forum Logiciels, c'est vrai qu'aujourd'hui je suis un peu naze... debout depuis 6h15, et pas vraiment envie de faire quelque effort que ce soit! mais pas de mauvais poil, en tout cas.

    -- françois

  32. #29
    fderwelt

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par bbdoll
    Non elle ne l' est pas, sinon je voulais savoir si on pouvait définir R par:
    R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0k<1}
    C'est une manière de faire, encore que j'ai un doute du côté de , à cause des intervalles fermés à gauche. Mais je suis très fatigué ce soir.

    -- françois

  33. #30
    martini_bird

    Re : Démonstration de théorème

    Citation Envoyé par bbdoll
    Non elle ne l' est pas, sinon je voulais savoir si on pouvait définir R par:
    R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0k<1}
    Ce qui me gêne surtout dans cet essai de construction, c'est comment on définit les k? (qui sont en fait les réels de [0, 1[ )
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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