Comme abscisse curviligne sur le cercle unité. Ça revient à construire R comme revêtement universel du cercle. Ou quelque chose comme ça, faut demander à homotopie, il est balaise sur ces trucs-là. Et paf, on est repassé à Bac+Envoyé par martini_bird
, sauf que là,
-- françois
Comme le fait remarquer martini_bird, ici k est un réel. Tu ne peux pas définir les réels à partir des réels.je voulais savoir si on pouvait définir R par:
R={x / x=n+k, n appartenant a Z, 0
Tu peux aller voir ce que donnent les coupures de Dedekind.
Merci à fderwelt pour les précisions et la référence.
Quant à R ={x=n+k} cela nécessite de construire les réels de 0 à 1, (comme écrit précédemment par martini_bird) ce qui revient au même (il faut combler les trous de Q). La voie par le cercle et les revêtements posent le même type de problème : le cercle peut, certes, être défini comme sous-espace de R² (ou comme recollage de R) mais R² nécessite que R soit construit.
Oui, c' est ce que mon prof de math m' a dis aujourd' hui. Mais comment prouveriez vous l' existance du nombre n, sachant que:
n
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
Salut,
il me semble que l'on peut le définir (si mes souvenirs sont bons) comme le seul (à isomorphisme près) corps commutatif archimédien complet. En tout cas un théorème de Fröbenius n'est pas très loin de tout ça...
Mais bon, tu constates que ça ne renseigne pas beaucoup sur la structure interne du corps des réels.
La construction de Cantor-Meray (avec des classes d'équivalences de suites de Cauchy) est en tout cas la construction qui se généralise le mieux (cf. par exemple les corps p-adiques).
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
Je comprend pas bienSalut,
il me semble que l'on peut le définir (si mes souvenirs sont bons) comme le seul (à isomorphisme près) corps commutatif archimédien complet. En tout cas un théorème de Fröbenius n'est pas très loin de tout ça...
Mais bon, tu constates que ça ne renseigne pas beaucoup sur la structure interne du corps des réels.
La construction de Cantor-Meray (avec des classes d'équivalences de suites de Cauchy) est en tout cas la construction qui se généralise le mieux (cf. par exemple les corps p-adiques).
Cordialement.
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
Salut,
Pour construire le corps des réels, on peut le caractériser par certaines propriétés abstraites, mais ce n'est pas très effectif.
La construction de Cantor est essentiellement la suivante : supposons le corps Q des rationnels construit et considérons l'ensemble X des suites de Cauchy à valeurs dans Q. Alors grosso modo l'ensemble des limites (au sens de Cauchy) des suites de X, c'est IR.
Plus précisément, IR est le quotient X/X0, où X0 est l'ensemble des suites de Cauchy qui convergent vers 0. En d'autres termes, un nombre réel s'identifie à une classe de suites de Cauchy qui on même limite. On montre que l'on peut transporter la structure de Q pour faire de R=X/X0 un corps (complet par construction).
Tu vois qu'il faut avoir à disposition quelques rudiments de topologie.
Je ne sais pas si je suis plus clair....
N'hésite pas à poser des questions.
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
Oui, je vois surtout que je n' est pas les bases pour comprendre, je n' ai pas encore fais de topologie, alors oui tout ça c' est du chinois pour moiSalut,
Pour construire le corps des réels, on peut le caractériser par certaines propriétés abstraites, mais ce n'est pas très effectif.
La construction de Cantor est essentiellement la suivante : supposons le corps Q des rationnels construit et considérons l'ensemble X des suites de Cauchy à valeurs dans Q. Alors grosso modo l'ensemble des limites (au sens de Cauchy) des suites de X, c'est IR.
Plus précisément, IR est le quotient X/X0, où X0 est l'ensemble des suites de Cauchy qui convergent vers 0. En d'autres termes, un nombre réel s'identifie à une classe de suites de Cauchy qui on même limite. On montre que l'on peut transporter la structure de Q pour faire de R=X/X0 un corps (complet par construction).
Tu vois qu'il faut avoir à disposition quelques rudiments de topologie.
Je ne sais pas si je suis plus clair....
N'hésite pas à poser des questions.
Cordialement.
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
Tu peux retenir que les réels sont grosso modo des suites de rationnels : le développement décimal est une bonne illustration.
Par exemple la suite (1, 1, 1, 1, ...) est un repésentant du réel 1. (0, 0.9, 0.99, 0.999, ... ) ou encore (1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, ...) sont aussi des représentants de 1.
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
ok, cette façon d' écrire avec des parenthèses me fais penser à ce qu' on avu sur les polynomes avec le groupe (K[X],+)
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
C'est car on peut voir un polynôme comme une liste (=suite) de coefficients, à ceci près que tous les termes doivent être nuls hormis un nombre fini.
Par exemple X=(0, 1, 0, 0, ...) mais (1, 1, 1, 1, 1, ...) ne correspond pas à un polynôme*
Cordialement.
* on peut néanmoins donner du sens à cette suite dans le cadre des séries formelles.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
Oui, c' est exactement ça qu' on a vu en cours. Pourquoi je comprend mieux ici qu' à l' école là où le prof voulait en venir??
Enfin bref, merci pour l' aide sinon.
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
listes, suites; séries, suites; listes, séries????????????
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
Salut bbdoll (et aux autres)
je vais tenter d'expliquer le plus simplment possible ce que j'ai précédemment évoqué..
Les nombres réels revêt deux aspects importants : un algébrique, un "topologique" (je ne définirais pas ce que c'est mais je décrirais quels aspects cela revêt pour R)
L'aspect algébrique c'est grosso modo l'addition et la multiplication, elles possédent des propriétés qui font de R un corps commutatif. Cet aspect est introduit dès le collège (sans parler de "corps" bien entendu).
L'aspect "topologique" commence par des considérations du type si deux nombres a et b sont proches, les sommes a+c et b+c le sont ainsi que les produits ac et bc. Ca aussi c'est introduit très vite.
Jusqu'ici, il n' y a pas de différence entre Q et R.
Un aspect ("topologique") connu très tôt dans l'enseignement et qui semble donc trivial est R est archimédien (ce n'est pas énoncé ainsi). C'est à dire que pour tout réel x, il existe un entier n tel que n.1>x. (D'où l'existence de la "partie entière" qui est le plus petit de tous ces n -1).Or ce qui est moins trivial c'est que ceci équivaut à ce que Q est "dense" dans R, autrement dit tout réel est la limite d'une suite de rationnels (un des exemples les plus simples étant le développement décimal). Ceci peut également s'exprimer par le fait qu'entre deux éléments d'un corps archimédien il y a au moins un ( en fait une infinité) rationnel et un non rationnel si ce corps n'est pas Q lui même.
Le lien entre les deux (n.1>x et "densité de Q") se fait en prenant l'inverse, pour tout x>0, il existe n tel que 1/n<x
(Pour mieux saisir il n'est pas inutile de savoir qu'on peut en effet construire des corps avec un ordre (comme Q et R) avec des infiniment petits e tels que 0<e mais e<1/n pour tout n>0. Grosso modo, c'est l'ensemble des P(e)/Q(e) où P et Q sont des polynômes à coefficients rationnels ou réels, "e remplaçant X"). On peut remarquer que : 0<e/2<e<2e< tout rationnel strictement positif. Ainsi e n'est pas une limite de rationnels)
L'aspect archimédien dit en quelque sorte que Q "commande" R : par exemple, on veut faire un produit de 2 réels, on approxime ceux-ci par des rationnels dont on en prend le produit on a une approxiamtion du produit. Les approximations étant aussi bonnes que l'on veut, le produit des réels peut se définir par celui des rationnels (il en est de même de la somme).
Ceci peut donner l'illusion que R n'est guère "plus grand" que Q. Ceci n'est vrai que dans le sens qui précède. Car une chose les différencie "énormément" : Q est "plein de trous" R est "sans trous".
Cet aspect est très intuitif mais difficile à définir. Néanmoins, des théorèmes qui y sont liés sont admis en terminale (théorème des valeurs intermédiaires par exemple) et développés et en bonne partie démontrés à Bac+1 sciences
Qu'est-ce qu'un trou?
Partons de l'exemple bien connu
Toujours avec le même exemple, les deux ensembles {x rationnels négatifs, et, les x positifs tels que x²<2} {x rationnels positifs tels que x²>2} regroupent à deux tous les rationnels tous ceux du 1er sont plus petits que ceux du second mais il n'y a rien entre.
Quelles conséquences :
1) dans R il existe toute une famille de théorème d'existence de limites (borne sup, suites adjacentes, suites de Cauchy...)
2) les fonctions continues de R dans R répondent aux "critères de l'intuition".
Par exemple, la fonction rationnelle définie par f(x)=0 pour x<0 ou x²<2 et f(x)=1 sinon est continue sur Q. L'équivalente sur R n'est pas continue. Mais c'est aussi le théorème des valeurs intermédiaires, avec son corollaire le théorème de Rolle (une fonction sur un corps archimédien autre que R peut vérifier f'(x)>0 et ne pas être croissante!). Le théorème d'inversion des fonctions bijectives continues en fait également partie.
Quelques mots sur la construction
Historiquement il a fallu du temps pour se convaincre que Q avait des "trous". On s'est alors demandé comment les remplir. Pendant un moment, on a cru qu'on pouvait se contenter de certaines solutions aux polynômes à coefficients rationnels, type x²-2=0 mais pas x²+1=0 (aucune approximation d'une solution par des rationnels). Il se trouve qu'on peut construire un corps (commutatif archimédien) avec ces nombres mais il a presqu'autant de trous que Q (e et
Ainsi, "travailler sur R" est la 1ère acquisition au niveau historique (la droite de la géométrie grecque, en particulier d'Euclide, a toutes les propriétés de la droite réelle moderne) et au niveau de l'enseignement. A Bac +1, énormément est dit.
La construction, elle, est plus délicate car on l'a fait à partir de Q mais il faut "sortir" de Q puisque l'on cherche à construire quelque chose de plus grand.
La 1ère vision est proche de celle introduit par Cauchy : dans une droite sans trous une suite dont la distance entre les différents termes doit converger. Cantor construisit les réels à partir de cette idée (donnée par martini_bird) J'y reviens après.
La seconde est celle de Dirichlet avec les coupures dont un lien a été donné par Matthias. L'idée est plus simple mais la manipulation est en fait plus pénible.
Une troisième est le développement décimal. Même qualité que la précédente mais avec une mainpulation encore plus pénible ce qui fait qu'elle est très peu "populaire".
L'idée commune est la même : décrire à partir de Q les propres "trous" de celui-ci (tout en conservant les éléments de Q eux-mêmes). Dans l'approche "coupures de Dirichlet" et "développemement décimal", on fait un choix unique pour définir un réel (comme borne supérieure et borne inférieure dans le premier, limite d'une suite dans l'autre) la difficulté étant que cela impose du coup à chaque étape de retrouver un élément ayant la forme imposée (c'est ça qui alourdit). Dans l'approche Cauchy-Cantor, on ne fait pas de choix entre les suites convergeant vers un "réel" mais on identifie ceux qui convergent le même point (la principale difficulté de compréhension est là).
L'idée de Cauchy-Cantor est celle qui se manipule le mieux, et se généralise le plus, mais a la difficulté d'utiliser un quotient X/X0 (cf post de martini_bird).
Il y a en fait la même difficulté pour passer rigoureusement de N à Z puis de Z à Q. Z et Q ne sont pas plus construits que R à Bac+1. La manière "naïve" : par exemple on pose Z=N"+" (-N*) est d'une manipulation pénible. Une de manipulation plus aisée (et qui se généralise) est celle-ci: on considère les couples (a,b) a et b naturels, notre élément de Z sera a-b. Il y a plusieurs couples pour un seul entier relatif ainsi on identifie (a,b)"="(c,d) si a+d=b+c (et ainsi il n'y a que des sommes toujours définies dans N). La construction de Q à partir de Z se fait d'une manière très voisine.
L'idée de Cauchy-Cantor a ceci en commun, on prend un ensemble dans lequel il est facile de définir la somme et le produit (on fait la somme et le produit terme à terme des suites) , l'ordre (x<y) ne se définit pas aussi bien qu'avec les coupures mais reste assez faciles (il faut ne regarder que les termes de haut rang).
Mais le passage de Q à R n'est pas algébrique mais "topologique" (il faut remplir les trous).
Les trous doivent devenir des points càd des "trucs" de longueur 0 (une suite de Cauchy est une suite dont la distance entre le plus petit élément et le plus grand tend vers 0 donc répond à cette idée "longueur=0").
Mais il y a une infinité de suites qui convergent vers un même point (rationnel ou "trou"). Comment se caractérise le fait que deux suites tendent vers le même point ? : leur différence converge vers 0. On sait donc les suites qu'il faut identifier (par exemple, on ne définit pas plusieurs fois
J'espère que j'ai été clair.
Je pense que tu vois que dans la manipulation des réels tu connaissais à peu près tout. Et, j'espère que tu vois l'importance de la notion de "trous" dans Q pour construire R.
Listes : pas de définitions précises (à ma connaissance), en gros ce sont soit des suites (a0,a1,a2,...,an,...) ou une famille finie (a,b,c,d)
Suites : (a0,a1,a2,...)
Séries : Bac+2, je crois. En fait, c'est la somme des termes d'une suite, par exemple 1+1/2+(1/2)²+(1/2)^3+...=2)
intéressant cet historique de Homotopie.
Ca me fait penser à un certain nombre de question:
-étant donné un corps quelconque, peut-on y définir une topologie telle que son complété soit égal à sa (une pour parler proprement, mais elles sont toutes isomorphes) clôture algébrique?
-étant donné un anneau quelconque, peut-on y définir une topologie telle que son complété soit égal à son corps des fractions?
Ok, merci. En faitj' ai compris le début, je me suis noyé au milieuet j' ai pigé pour les suites...Merci
Supression de la citation, pour la lisibilité.
Pour la modération,
martini_bird.
Dernière modification par martini_bird ; 06/03/2006 à 18h13.
"Ne craignez pas d' être lent, craignez seulement d' être à l' arrêt"
Bonsoir,
C'est vrai que homotopie est redoutable...
Ses explications sont toujours très claires, à condition de prendre le temps de les lire et de les comprerndre... Mais ça vaut largement le coup de faire l'effort.
Tiens, il a presque réussi à me convaincre qu'il y avait une autre Topologie que Algébrique!!!
Signé: Grothendiek.
Non, désolé, je ne suis pas crédible...
-- françois
Je crois que non, dans les deux cas. J'ai posé la question sur drmath.org (ou .net, je sais plus) et la réponse que j'ai eue était assez ambiguë. Il semble que la topologie souhaitée ne soit pas unique, mais que les différentes topologies qui répondent au problème sont "plus ou moins" isomorphes -- quoi que ça veuille dire!
Cela dit, mon problème était plus précis: étant donné un corps commutatif de caractéristique zéro, comment peut-il être vu comme corps des fractions d'un anneau -- le plus petit possible, évidemment? Et parmi ces anneaux, pour lesquels ledit corps est-il le complété?
-- fr
Pour les corps finis c'est sûr c'est loupé : ils sont complets et non cloturés algébriquement.
Un complet peut-il être dénombrable? je crois que non. Cela donnerait une réponse négative pour la clôture algébrique de Q et pour le corps des fractions de Z.
D'accord avec toi. La notion de complétude est topologique, et, à moins d'une topologie dégénérée (cas trivial, facile à régler) cela empêcherait l'existence de corps "suffisamment grands" comme R ou C. Ce qui, au niveau catégoriel, serait très ennuyeux.
-- françois
tiens! je me suis posé la même question. Par exemple, construire un sous-anneau de R dont R soit le corps des fractions.
pour ce qui est de la relation clôture/complétion, je pense que l'argument de cardinalité ne suffit pas. D'accord, il y a plus de suites que de polynômes, mais ce qui compte c'est le "nombre" de suites de Cauchy, et ça dépend de la métrique choisie.
Je précise mon argument.
Il existe des espaces complets dénombrables : les espaces discrets. Ce cas est exclu ici car de tels espaces ne sont les complétés que d'eux-même.
La question que je me pose est : est-il possible à un corps de caractéristique 0 complet dont tous les points sont des points d'accumulation (parfaits) peut-il être dénombrable?
Les points sont soient tous isolés soient tous points d'accumulation car l'addition définit des homéomorphismes locaux entre chaque point.
Or, les complétés valués de Q non discret sont R et les
Or, Q est toujours présent dans notre cas car est le corps premier de notre corps complet dénombrable.
Evidemment, rien n'impose de prendre une distance topologiquement équivallente à une valeur absolue.
Mais ce dernier résultat me laisse très sceptiques car, ici, la topologie a nécessairement une assez forte "régularité" car est une topologie compatible avec une structure algébrique. (Un exemple de "régularisation" ou de "polissage" : un groupe de Lie peut être défini comme une groupe toplogique ayant une structure de variété continue ; cette continuité et cette structure de groupe imposent qu'on peut redéfinir la structure de variété (sans changer la topologie) pour la rendre analytique. Bref, encore plus fort que les fonctions à une variable complexe dérivables)
C'est sur ça que repose mon argument de cardinalité qui, en résumé, dit chez les dénombrables dès qu'on commence à mettre des trous, on en met tout de suite beaucoup surtout si on veut de la régularité (structure algébrique).
Il n'a rien de rigoureux et n'a pas prétention à l'être mais, perso, il me convainc de chercher plutôt à montrer que c'est impossible.
