Estimation de l'erreur commise sur une série convergente à termes positifs

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je voudrais connaître la méthode qui permet de déterminer le nombre de termes à calculer pour obtenir une erreur inférieure à une erreur donnée dans le cas du calcul approché d'une série convergente à termes positifs

Je sais le faire pour une serie alternée à termes strictements décroissants et pour une série convergente à termes positifs notre professeur nous avait assuré que c'était juste un peu plus compliqué....

Je donne un exemple: on veut calculer la somme partielle:

qui donne une valeur approchée de:

Ma question est:A quel terme doit-on s'arreter pour obtenir à moins de près?

Merci d'avance pour vos réponses...

Cordialement le fouineur
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[invite636fa06b]

Bonjour,
Avec ton exemple, le plus simple est d'utiliser les intégrales

Ce qui amène tous calculs faits à
.
Il te faudrait donc calculer 10 000 termes !

Remarque que connaissant l'erreur, on peut introduire un terme correctif et réduire les calculs !

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Sympa cette astuce !
Effectivement, 1/p(p-1) est quand même beaucoup beaucoup plus petit.

__
rvz

[mtheory]

Bonjour,
Avec ton exemple, le plus simple est d'utiliser les intégrales

Ce qui amène tous calculs faits à
.
Il te faudrait donc calculer 10 000 termes !

Remarque que connaissant l'erreur, on peut introduire un terme correctif et réduire les calculs !

Jolie !

[A voir en vidéo sur Futura]

[le fouineur]

Bonsoir zinia et merci pour ta réponse rapide,

Comment fais-tu pour déduire de ton inégalité la valeur du nombre de termes,soit 10000 termes? Il y a là quelque chose qui m'échappe....

Pour revenir à la première ligne,ton intégrale de p jusqu'à l'oo est égale à 1/p,après je ne vois pas comment tu peux en déduire la seconde ligne.

Merci de me répondre

[invite636fa06b]

D'accord sur l'intégrale on a donc :

Ces deux inégalités sont vraies pour tout p. On peut donc remplacer p par p-1 dans le première, ce qui donne bien le résultat.
En prenant une somme partielle jusqu'à p-1 tu négliges les termes de p à l'infini. C'est donc l'erreur qui est comprise entre 1/p et 1/(p-1) et dont tu as décidé qu'elle devait être inférieure à . Donc
Mais comme on connait l'erreur, tu peux te contenter de prendre 100 termes seulement avec

PS : je ne suis pas certain d'avoir répondu vraiment à ta question initiale car l'encadrement est justifié par le fait que ta série est décroissante.
Toutefois, on imagine mal une série convergente à terme positif qui ne serait pas décroissante

[le fouineur]

Merci pour ta réponse,

Tu as bien répondu aux deux questions et tout cela est plus clair maintenant.

Cordialement le fouineur