Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 11 sur 11

Série convergente -> série abst convergente



  1. #1
    MiMoiMolette

    Série convergente -> série abst convergente


    ------

    Hello,

    Petit problème sur les séries :/

    Je n'arrive pas à prouver que :

    Si converge, alors converge absolument.

    J'ai essayé de me servir de l'hypothèse selon laquelle converge et en déduire que est décroissante, mais ça ne mène à rien.

    Si j'essaie de me servir de la racine de , certes, j'obtiens la valeur absolue de la suite, ce qui pourrait me servir pour le terme car on veut démontrer sa convergence absolue et qu'il faut se servir de la valeur absolue du terme. Mais encore une fois, je n'arrive à rien

    Je veux même pas une solution, mais une piste pour quelqu'un de désespéré ne serait pas de trop :/

    Merci :$


    PS : je débute en écriture TeX alors sorry pour les grossieretés de présentation ^^'

    -----
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  2. Publicité
  3. #2
    Ksilver

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Salut !


    "et en déduire que an est décroissante" >>> en qu'elle honeur ??? ta suite a aucune raison d'etre décroissante !


    bon, je suppose que an désigne une suite réel (sinon le résultat est faux...).

    apres c'est une inégalité de cauchy :

    (la sommes des |an|/n )² < somme des (an²) * somme des (1/n²)

    (on l'ecrit sur des somme finit, et on fait tendre vers l'infinit ensuite...)

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Coucou

    Oui, erreur sur la décroissance. Je ne sais plus ce que j'avais déduit de la convergence de la première série...mais en tout cas, ça n'avait rien donné.
    Et oui, il s'agit bien d'une suite réelle.

    Pour l'inégalité de Cauchy (théorème de Cauchy-Schwarz, n'est-ce pas ?), on n'utilise pas les intégrales ? Et non des sommes ? (dans mon poly, ce sont des intégrales en tout cas)

    Et y a-t-il un théorème permettant de dire que le produit de deux sommes convergentes est convergente ?
    Et un autre pour passer de la convergence du carré d'une somme à celle de la somme ? :/

    Bon, j'suis peut-être à l'ouest...Mais j'essaie de comprendre

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  5. #4
    Ksilver

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    l'inégalité de cauchy schwarz dit de facon géneral :

    (x|y) =<||x|| ||y||

    qu'on ecrit plutot :
    (x|y)² =<||x||²||y||²

    on applique cela au produit scalaire de R^n classique, et on obtiens :

    (a1*b1+a2*b2+...+an*bn)² < (a1²+..+an²)*(b1²+..bn²)
    (inégalité large...)
    on applique cela avec et |an| pour an et bn=1/n, et on obtiens que :

    (|a1|/1+...+|an|/n)² < (a1²+...+an²)*(1+..+1/n²)

    la somme des 1/n² converge et la somme des ai² converge, ce sont des série a terme positif donc :
    (a1²+...+an²) < somme des ai² pour i=1 a +infinit
    (1+..+1/n²) < sommes des 1/n² pour n=1 a +infinit ( qui vaut Pi²/6... mais ca n'est pas important)

    donc la sommes des |ai|/i est majorer, et une série a terme positif majoré converge... d'ou le résultat : la série de ai/i est absoluement convergente.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Oh !

    Avec ça, je comprends beaucoup mieux. Le seul problème, c'est que je n'ai pas encore fait les scalaires cette année ^^'
    Je viens de revérifier dans mon poly, le seul "Cauchy Schwarz" mentionné pour le moment est un théorème qui fait intervenir des intégrales.

    Je ne remets pas du tout en cause ta réponse (qui a l'air parfait ), c'est juste que je suis du genre à chipoter jusqu'à comprendre tous les éléments d'une démonstration, jusqu'à ce que je n'aie plus rien à critiquer (ouais, c'est chiant, désolée ). Mais là, on n'est peut-être pas du même niveau, ou bien on ne parle pas de la même chose... En tout cas, je ne suis pas sûre de pouvoir utiliser ça...

    Vais méditer un peu, ça aidera peut-être ^^

    En tout cas, un GROS merci à toi, j'ai au moins une réponse à formuler
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  8. #6
    Ksilver

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    je doute fortque cette exo soit faisable sans cauchy scwhartz


    si tu es vraiment sur de ne pas l'avoir vu, applique la version que tu connais (sur les intégral) entre 0 et n a la fonction f qui vaut a1 entre 0 et 1, a2 entre 1 et 2... en entre (n-1) et n. et a la fonction g qui vaut b1 entre 0 et 1... bn entre (n-1) et n, et tu obtiendra la forme que j'ai donné...

  9. Publicité
  10. #7
    MiMoiMolette

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Coucou

    Encore une fois, merci !

    J'ai trouvé la solution (sur une page quand même ^^). Je me suis servie de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (pas encore vue en cours, mais présente dans le poly) et comme tu l'as suggéré, en passant des intégrales aux sommes, ça s'arrangeait.

    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  11. #8
    indian58

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    je doute fortque cette exo soit faisable sans cauchy scwhartz
    Non, tu peux par exemple dire que |an/n| <= an²+ 1/n². Comme cela pas besoin de Cauchy-Schwartz.

  12. #9
    MiMoiMolette

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Non, tu peux par exemple dire que |an/n| <= an²+ 1/n². Comme cela pas besoin de Cauchy-Schwartz.
    Si c'était aussi simple... ^^

    J'avais pensé à ça, mais imagine si an est < 1. an est alors > à an² et ton inégalité est fausse ;p

    Et en fait, c'est très probable vu que somme des an² converge => an² tend vers 0. Or, an² > 0. Donc an² est décroissante. (ça a intérêt à être juste ce truc :/)
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  13. #10
    Ksilver

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Si indian58 à raison, l'inégalité est juste : on a meme |an|/n <= (an²+1/n²)/2

    en effet : |an|²-2*|an|/n +1/n² =(|an|-1/n)² >= 0

    d'ou le résultat.

  14. #11
    MiMoiMolette

    Re : Série convergente -> série abst convergente

    Mais aaaaaaaaaaargh !!!

    Ok.

    Midi à 14h, me v'là
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

Discussions similaires

  1. Suite convergente
    Par Lepoete94310 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 06/04/2008, 16h44
  2. Estimation de l'erreur commise sur une série convergente à termes positifs
    Par le fouineur dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 07/05/2007, 21h19
  3. suite convergente
    Par nanoua dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 15/11/2006, 19h14
  4. Somme (1/n²) convergente ?
    Par Bash dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 15/10/2006, 18h53
  5. Suite convergente
    Par g_h dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 8
    Dernier message: 29/10/2005, 18h52