Peut il y avoir moins de n valeurs propres ?

[invite42abb461]

Bonjour, l'exercice est le suivant :

Soit M une matrice Diagonalisable ayant exactement 2 valeurs propres distinctes a et b. M'ontrer que pour tout k on a existence de u_k et v_k tels que:

M^k=u_kM + v_kIn

La correction commence comme suit :

(M - aIn)(M - bIn)=0 donc...

Je ne comprends pas d'ou vient cette propriété. Cela ne peut etre Cayley Hamilton car il manque les multiplicités, dont la somme doit toujours faire n non ? Si j'ai raison, pouvez vous m'expliquer cette égalité, si j'ai tort merci de me dire pourquoi !
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[invitedf667161]

Ta matrice ne serait pas 2x2 par hasard ? ...

Bon, si elle ne l'est pas, tu peux peut-être regarder du coté du polynôme minimal...

[invite35452583]

La matrice est diagonalisable avec deux valeurs propres distinctes a et b donc, si on note k le corps des scalaires et E=k^n avec nxn l'ordre de la matrice, on a : (somme directe dont je ne me souviens plus le nom en latex). C'est trivial, il suffit de prendre une base de vecteurs propres, ces vecteurs se répartissent en partie dans le 1er noyau, pour le reste dans le 2ème noyau.
x un élément de E s'écrit x=y+z avec y dans le 1er noyau z dans le second.
(M-aID)(M-bId)(x)=(M-aId)(M-bId)(y)+(M-aId)(M-bId)(z)=(M-bId)(M-aId)(y)+(M-aId)(M-bId)(z)=(M-bId)(0)+(M-aId)(0)=0+0=0.

[invitedf667161]

Je suis d'accord avec toi homotopie, mais je ne saisis pas un truc : cela a l'air de montrer que, dès qu'une matrice est diagonalisable alors le polynôme minimal est le produit des X-a, où a parcourt le spectre (sans les multiplicités).
Ce fait est vrai ? On ne m'en a jamais parlé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

Oui c'est vrai j'avais oublié ce point : cf la démonstration de "A diagonalisable ssi A annule un polynome scindé simple."
Merci bien en tout cas.

[invite4ef352d8]

Je suis d'accord avec toi homotopie, mais je ne saisis pas un truc : cela a l'air de montrer que, dès qu'une matrice est diagonalisable alors le polynôme minimal est le produit des X-a, où a parcourt le spectre (sans les multiplicités).
Ce fait est vrai ? On ne m'en a jamais parlé...

oui, c'est tous a fait vrai, c'est meme une CNS de diagonalisabilité. et ce polynome (produit des X-a) s'obtiens tres facilement a partir du polynome charactéristique P : c'est P/Pgcd(P,P')

[invitedf667161]

Bon sang mais c'est bien sûr, on m'en a déjà parlé ! "Un matrice est diagonalisable ssi le minimal est scindé à racine simple". Comme le minimal fait apparaitre au moins une fois toutes les valeurs propres, on est bons.

Merci de l'eclaircissement.