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groupe à 1,2,3 ou 4 éléments



  1. #1
    momotivee

    groupe à 1,2,3 ou 4 éléments


    ------

    Bonjour,

    j'ai un exercice à résoudre :

    " décrire tous les groupes possibles à 1, 2, 3 ou 4 éléments "

    Je ne comprends pas ce qui est attendu dans cet exercice car je n'ai pas plus de précisions, et quels sont les différents groupes qu'il existe.

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Pour un élément ce n'est pas trop dur
    Pour 2, 3 et 4 il te faut décrire la (les s'il y en a plusieurs possibles) table(s) de ton opération de groupe.
    Par exemple pour 2 éléments a et b, et l'opération * : que vaut a*a, a*b etc...

  4. #3
    momotivee

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    merci,
    mais j'ai du mal à comprendre si pour les groupes il faut utiliser des ensembles connus tels N Z R...

    au niveau rédactionnel comment noter ces groupes possibles ?

    Y a-t-il d'autres opérations possibles que " + * / et - " ?

  5. #4
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Salut,

    Il faut d'abord que tu relises ton cours sur les groupes.

    Pour toi c'est quoi un groupe ?

  6. #5
    Garnet

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Par exemple pour 4, on te demande de classer les groupes à 4 éléments à isomorphisme près (Sais-tu ce que celà veut dire?).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    momotivee

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Un groupe possède une loi de composition interne qui est associative, qui possède un élément neutre, tout élément admet un symétrique.
    Si en plus cette loi est commutative alors c'est un groupe abélien.

    Nous n'avons pas fait d'exemples concrets, c'est pour cela que je ne comprends pas bien ce qui est attendu.

    Nous n'avons pas étudié l'isomorphisme...

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  10. #7
    g_h

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Hello,

    On peut écrire l'ensemble sous-jacent d'un groupe de 4 éléments {a, b, c, e} par exemple, avec 'e' le neutre.

    Je reformule la question, par exemple pour le cas de 4 éléments donc :

    Le travail que l'on te demande peut se résumer en : trouver toutes les lois de composition internes qui font de l'ensemble {a, b, c, e} un groupe.

    Toutes les lois ne sont pas des lois de groupe, par exemple, si notre loi nous dit que :
    a*b = e
    a*c = e
    alors ce n'est pas une loi de groupe, car dans un groupe, un élément admet un unique inverse, donc ici on aurait b=c, ce qui est impossible (sinon on aurait moins de 4 éléments !). Ceci est un cas simple ou l'on détecte que ça cloche, mais ça peut vite se compliquer !

    Le plus simple est évidemment de commencer par 2 et 3 éléments.

    Tu peux essayer d'écrire les lois dans des tableaux à double entrée : exemple avec 3 éléments :

    * e a b
    e
    a
    b

    la premiere ligne et la première colonne se remplissent de suite (à cause du neutre)

    * e a b
    e e a b
    a a
    b b

    je te laisse finir (ce n'est pas forcément immédiat )

  11. #8
    momotivee

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Un élément ou deux éléments ne suffisent pas à former un groupe,
    sinon on ne peut pas prouver que la loi interne est associative.

    Comment peut-on donc décrire tous les groupes possibles à 1 2 3 ou 4 éléments s'il existe une infinité de lois différentes et si on peut faire les opérations que l'on souhaite pour définir la loi ?

    Par exemple on peut créer la loi * définie sur R telle que : a*b = x+y-xy
    ou encore * définie sur R telle que : a*b = x+y / 1+xy

  12. #9
    Médiat

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Citation Envoyé par momotivee Voir le message
    Un élément ou deux éléments ne suffisent pas à former un groupe,
    sinon on ne peut pas prouver que la loi interne est associative.
    J'ai peur que vous n'ayez pas compris la notion de structure algébrique ; soit {e} un singleton muni de la seule opération interne possible notée *, on a bien (e*e)*e = e*(e*e), donc la loi est associative.

    Citation Envoyé par momotivee Voir le message
    Comment peut-on donc décrire tous les groupes possibles à 1 2 3 ou 4 éléments s'il existe une infinité de lois différentes et si on peut faire les opérations que l'on souhaite pour définir la loi ?

    Par exemple on peut créer la loi * définie sur R telle que : a*b = x+y-xy
    ou encore * définie sur R telle que : a*b = x+y / 1+xy
    Vous pensez vraiment que IR a 1, 2, 3 ou 4 éléments ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #10
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Salut,

    En effet y'a une infinité de lois possible mais elles ont toutes la même caractéristiques, elles sont associatives et dans ton exo on ne te demande pas de décrire la loi. Tu as juste a considérer que ton groupe possède une loi que tu note * ou T ou ce que tu veux.

    Un élément ou deux éléments ne suffisent pas à former un groupe
    Mais si, allez je te le fait, ça devrai te permettre de voir ce que l'on te demande.

    Soit G un groupe à 1 élément. On sait qu'un groupe doit contenir un élément neutre (on le note e).
    Est-ce que G avec comme seul élément e muni d'une loi * est un groupe ?

    e*e=e donc "tout" les éléments de G ont un symétrique
    et
    (e*e)*e=e*e=e*(e*e)

    Donc tout les groupes à 1 élément sont les groupes qui ne contiennent que l'élément neutre

    Pour 2 éléments :
    Soit G un groupe à 2 élément, 1 élément doit être l'élément neutre e et on note a le deuxième

    On construit la table de G
    On a :
    e*e=e
    e*a=a (définition de l'élément neutre)
    a*e=a
    Et reste a*a, que doit valoir a*a pour que G soit un groupe ?
    Soit a*a=a soit a*a=e
    Si a*a=a G n'est pas un groupe car il existe un élément de G qui n'a pas d'inverse : a
    Si a*a=e Alors a est son propre inverse et hop G est un groupe (vérifie que * est associative avec a*a=e)

    Donc les groupes à 2 éléments sont ceux qui contiennent e et un élément a tel que a*a=e

  14. #11
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Erreur de manip

  15. #12
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Pour résumer un groupe à deux éléments doit forcément avoir une table pour la loi de la forme:



    A toi de construire une table équivalente pour 3 ou 4 éléments

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  17. #13
    momotivee

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    merci, mais un élément peut-il être son propre symétrique ???
    Cela ne me paraît pas logique

  18. #14
    g_h

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Oui, rien ne l'interdit

    Exemple, pour la multiplication usuelle des nombres réels, 1 est son propre symétrique (1*1 = 1)

  19. #15
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    un élément peut-il être son propre symétrique
    Oui, c'est possible même si ça ne parrait pas intuitif avec les connaissances que tu dois avoir pour l'instant.

  20. #16
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Exemple, pour la multiplication usuelle des nombres réels, 1 est son propre symétrique (1*1 = 1)
    oui mais pour la multiplication usuelle 1 est l'élément neutre (qui par définition est son propre symétrique), un exemple avec des matrices ou des nombres modulaires aurait été plus significatif, mais je doute que momotivee ait les connaissances nécessaires.

  21. #17
    Flyingsquirrel

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    oui mais pour la multiplication usuelle 1 est l'élément neutre
    Dans ce cas on peut prendre muni de la multiplication usuelle. C'est un groupe dont l'élément neutre est 1 et donc -1 est son propre symétrique.

  22. #18
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Oui bon exemple,

    je viens d'en trouver un autre :

    Le groupe avec comme éléments : la rotation (de centre un point quelconque du plan) d'angle 0, d'angle pi/4, d'angle pi/2 et d'angle 3pi/4

    (j'espère momotivee que tu a compris maintenant que les éléments d'un groupe ça peut être autre chose qu'un nombre, alors pourquoi pas des transformations géométrique)

    On prend comme loi sur ce groupe la composition des transformation du plan, (exemple : Rot(pi/2)°Rot(pi/4)=Rot(3pi/4) )

    la rotation d'angle 0 est l'élément neutre et on a Rot(pi/2)°Rot(pi/2)=Rot(0)
    La rotation d'angle pi/2 est son propre symétrique.

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  24. #19
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    (bon en fait c'est exactement le même exemple que Flyingsquirrel, mais certain ne s'en apercevront pas)

  25. #20
    Flyingsquirrel

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Citation Envoyé par erik Voir le message
    Le groupe avec comme éléments : la rotation (de centre un point quelconque du plan) d'angle 0, d'angle pi/4, d'angle pi/2 et d'angle 3pi/4 (...)

    On prend comme loi sur ce groupe la composition des transformation du plan, (exemple : Rot(pi/2)°Rot(pi/4)=Rot(3pi/4) )

    Pour que ça soit un groupe il faudrait ajouter des éléments (Rot(Pi), Rot(5pi/4), Rot(6pi/4) et Rot(7pi/4)) ou bien multiplier tous les angles par 2 (les éléments du groupe sont alors Rot(0), Rot(pi/2), Rot(Pi) et Rot(3pi/2)). Dans les deux cas l'élément qui est son propre symétrique est Rot(Pi) puisque Rot(Pi)°Rot(Pi) = Rot(Pi+Pi) = Rot(2Pi)=Rot(0).

  26. #21
    erik

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    Youps tu as raison,

    Je voulais parler des rotations d'angles 0,pi/2,pi,3pi/2.

    Je sais pas pourquoi mon doigt a zappé sure la touche 4

  27. #22
    momotivee

    Re : groupe à 1,2,3 ou 4 éléments

    merci pour vos réponses,
    j'ai les connaissances que je peux, en effet j'ai changé de rythme cette année, les cours sont très denses et on fait très peu d'application c'est pour cela que j'ai du mal à mettre en pratique ce que j'apprends...

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