L’incommensurabilité d’un espace de Hilbert.

[Amanuensis]

Comment concevoir par exemple la "préparation" d’une étoile à neutrons :
celle-ci n’est rien d’autre que l’opération de discrimination (à distance) entre diverses classes d’objets, et qui permet d’obtenir ainsi une certaine information initiale à son propos et donc ensuite la construction de probabilités.

C'est aller à un autre extrême. L'allusion aux étoiles à neutron a été faite en relation avec le principe d'exclusion de Pauli.

Mais il y a des exemples plus simples de ce principe, et de l'intrication correspondante. Plus simples, plus proches, et à la fois "naturels" et susceptibles d'expérimentation. Il s'agit de la liaison covalente: dans une molécule de H2 (exemple le plus simple) les deux électrons sont intriqués. Cas plus poussé: les six électrons délocalisés dans la molécule de benzène. Et seule la PhyQ rend compte correctement de la liaison covalente (notion d'orbitales moléculaires), y compris d'étrangetés comme la symétrie par rotation de 1/6 de tour de la molécule de benzène.
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[Amanuensis]

Pour revenir un peu au sujet, les sous-systèmes "accessibles à la MQ" se distinguent surtout par leur isolement aux processus perturbateurs. Et ce qu'on les crée (expérimentation) ou par "phénomène naturel". Une molécule de H2 dans un gaz est essentiellement isolée entre deux chocs successifs, et se prête bien, de ce fait, à la modélisation.

La modélisation de gros systèmes bute, bien avant toutes difficulté mathématique que pourraient poser les espaces de Hilbert, sur la complexité des réseaux d'interaction (ne serait-ce qu'en établir la liste!). D'où le recours le plus souvent à des "théories d'émergence". Et alors, à part si on peut démontrer une contradiction avec un modèle quantique avec un espace de Hilbert ad-hoc, on se fiche pas mal si les espaces de Hilbert sont "suffisamment grands".

[Les Terres Bleues]

C’est aller à un autre extrême. L’allusion aux étoiles à neutrons a été faite en relation avec le principe d’exclusion de Pauli.

Euh non, pas nécessairement.
Dans mon idée c’était juste pour ne pas se limiter au domaine microscopique.

Mais il y a des exemples plus simples de ce principe, et de l’intrication correspondante. Plus simples, plus proches, et à la fois "naturels" et susceptibles d’expérimentation. Il s’agit de la liaison covalente: dans une molécule de H2 (exemple le plus simple) les deux électrons sont intriqués. Cas plus poussé: les six électrons délocalisés dans la molécule de benzène. Et seule la PhyQ rend compte correctement de la liaison covalente (notion d’orbitales moléculaires), y compris d’étrangetés comme la symétrie par rotation de 1/6 de tour de la molécule de benzène.

Rien à redire. Tout ça peut se penser comme des "états préparés" ou "préparables".

Pour revenir un peu au sujet, les sous-systèmes "accessibles à la MQ" se distinguent surtout par leur isolement aux processus perturbateurs. Et ce qu’on les crée (expérimentation) ou par "phénomène naturel". Une molécule de H2 dans un gaz est essentiellement isolée entre deux chocs successifs, et se prête bien, de ce fait, à la modélisation.

Qu’ils soient créés ou "naturels", il s’agit simplement de les traiter de la même façon, non ?

La modélisation de gros systèmes bute, bien avant toutes difficulté mathématique que pourraient poser les espaces de Hilbert, sur la complexité des réseaux d’interaction (ne serait-ce qu’en établir la liste!). D’où le recours le plus souvent à des "théories d’émergence". Et alors, à part si on peut démontrer une contradiction avec un modèle quantique avec un espace de Hilbert ad-hoc, on se fiche pas mal si les espaces de Hilbert sont "suffisamment grands".

Oui, mais comme dit plus haut, qui peut le plus peut le moins. Il n’est pas interdit de se servir d’un espace de Hilbert de dimension finie, mais la dimension infinie permet de ne pas être bloqué au moment où on doit passer outre.
C’est en quelque sorte se donner de la marge.

[Amanuensis]

Oui, mais comme dit plus haut, qui peut le plus peut le moins.

Mon point était justement qu'on ne peut pas le plus.

[Les Terres Bleues]

Mon point était justement qu'on ne peut pas le plus.

Si les mathématiques le permettent, pourquoi la physique s’en priverait.

Tout à fait autre chose : cascade de calcium.

[Amanuensis]

Francis Blanche: Il peut le faire.

[Les Terres Bleues]

Francis Blanche: Il peut le faire.

Il existe tout de même une infime probabilité (infime mais non nulle) pour qu’il le fasse.
De la même façon, il existe une infime probabilité pour que je sois compris. J’y travaille.

[Nicophil]

Si les mathématiques le permettent, pourquoi la physique s’en priverait ?

Parce qu'elle est une description de la réalité physique, pardi !

Mais justement une proba n'est pas une description de la réalité...

[Amanuensis]

Il existe tout de même une infime probabilité (infime mais non nulle) pour qu’il le fasse.
De la même façon, il existe une infime probabilité pour que je sois compris. J’y travaille.

Je n'ai pas l'impression de ne pas comprendre. Simplement dans ma manière de voir la physique a pour but d'être utilisée. Du coup, je me permets de faire une distinction entre le possible au sens d'utilisable et le possible "extrapolé". Les mathématiques permettent d'extrapoler, pas d'étendre les moyens.

(Pour compliquer les choses, il y a le possible pour les humains et le possible avec des ordinateurs. Cela introduit déjà un problème pour certaines démonstrations mathématiques "assistées par ordinateur". Mais même avec ordinateur, j'imagine que les systèmes quantiques "les plus gros" étudiés complètement--i.e., modélisés par un espace de Hilbert muni d'un ECOC comme on dit, ensemble complet d'observables qui commutent-- ne doivent pas être très gros... Au passage, le critère de "grosseur" n'est pas la dimension infinie, mais plutôt la taille de l'ECOC il me semble.)

[Les Terres Bleues]

Parce qu’elle est une description de la réalité physique, pardi !

Convenons, s’il vous plaît, de ne pas relancer ici un nouveau débat sur le réalisme.

Mais justement une proba n’est pas une description de la réalité…

Oui, outre la manière dont a été généré le système objet de l’étude, nous ne disposons en fait que de probabilités, et malheureusement on s’empresse de ramener leur nombre au minimum correspondant à la vision classique.
C’est je crois un appauvrissement de la méthode.

Je n’ai pas l’impression de ne pas comprendre. Simplement dans ma manière de voir la physique a pour but d’être utilisée. Du coup, je me permets de faire une distinction entre le possible au sens d’utilisable et le possible "extrapolé". Les mathématiques permettent d’extrapoler, pas d’étendre les moyens.

Je ne me permettrai pas de contester cet argumentaire qui me paraît justifié. J’essaie juste de faire valoir qu’au-delà de l’usage qui en est fait, la physique quantique permet d’ouvrir de nouveaux horizons dont on se prive en procédant ainsi.

(Pour compliquer les choses, il y a le possible pour les humains et le possible avec des ordinateurs. Cela introduit déjà un problème pour certaines démonstrations mathématiques "assistées par ordinateur". Mais même avec ordinateur, j’imagine que les systèmes quantiques "les plus gros" étudiés complètement--i.e., modélisés par un espace de Hilbert muni d’un ECOC comme on dit, ensemble complet d’observables qui commutent-- ne doivent pas être très gros... Au passage, le critère de "grosseur" n’est pas la dimension infinie, mais plutôt la taille de l’ECOC il me semble.)

J’en conviens aisément, ce n’est pas aujourd’hui que l’on fera le plein des chambres de l’hôtel de Hilbert.
Il reste cependant ouvert à tout nouvel arrivant, et en attendant je n’objecte rien au fait que l’on préfère travailler avec « un nombre aussi grand qu’on veut, mais fini ».
De mon point de vue, je ne vois pas de désaccord avec ce qui est proposé ici.
J’ai juste pointé une question qui obtiendra peut-être un jour une réponse.

[Nicophil]

La physique quantique est limitée : limitée par la précision des mesures et limitée à des prédictions seulement probabilistes.

[Matmat]

(Pour compliquer les choses, il y a le possible pour les humains et le possible avec des ordinateurs. Cela introduit déjà un problème pour certaines démonstrations mathématiques "assistées par ordinateur". Mais même avec ordinateur, j'imagine que les systèmes quantiques "les plus gros" étudiés complètement--i.e., modélisés par un espace de Hilbert muni d'un ECOC comme on dit, ensemble complet d'observables qui commutent-- ne doivent pas être très gros... Au passage, le critère de "grosseur" n'est pas la dimension infinie, mais plutôt la taille de l'ECOC il me semble.)

Qu'est ce que la taille d'un ECOC si ce n'est sa dimension ?

[Médiat]

ce n’est pas aujourd’hui que l’on fera le plein des chambres de l’hôtel de Hilbert.

On ne peut en faire le plein dans le sens où toute personne qui arrive peut être hébergée, et même où tout groupe dénombrable de personnes peut être hébergé, mais tous les groupes de personnes ne peuvent pas être hébergés.

[Les Terres Bleues]

La physique quantique est limitée : limitée par la précision des mesures et limitée à des prédictions seulement probabilistes.

La limitation due à la précision des mesures n’est pas une limitation technique, il s’agit d’une limitation structurelle conséquence de la nécessité de respecter les inégalités de Heisenberg.
Quant aux prédictions uniquement probabilistes, elles indiquent à mon avis que l’Univers vu du côté antérieur à la mesure est un immense (infini ?) réservoir de possibles, dont nous ne faisons que commencer à entrevoir le potentiel.

On ne peut en faire le plein dans le sens où toute personne qui arrive peut être hébergée, et même où tout groupe dénombrable de personnes peut être hébergé, mais tous les groupes de personnes ne peuvent pas être hébergés.

Pour ma réflexion, je prends bien note de ce point.

[Les Terres Bleues]

On ne peut en faire le plein dans le sens où toute personne qui arrive peut être hébergée, et même où tout groupe dénombrable de personnes peut être hébergé, mais tous les groupes de personnes ne peuvent pas être hébergés.

Un séjour dans l’hôtel de Hilbert.

[Médiat]

Un séjour dans l’hôtel de Hilbert.

Je n'ai pas lu le détail, mais au moins cet article indique bien le point que je soulevais, et c'est assez rare.

Une remarque (mais pour aller plus loin il faudrait ouvrir un autre fil (HS ici)) : si un client arrive on peut le mettre dans une chambre "avant" tous les clients déjà présents, mais pas "après" tous les clients présents, et c'est ainsi que l'on voit que l'addition ordinale n'es pas commutative.

[invite6754323456711]

Un séjour dans l’hôtel de Hilbert.

Dans ce cadre c'est quoi la signification de "hôtel plein" une bijection entre l'ensemble des occupants et l'ensemble des entiers naturel ?

Patrick

[Amanuensis]

Dans ce cadre c'est quoi la signification de "hôtel plein" une bijection entre l'ensemble des occupants et l'ensemble des entiers naturel ?

Non, puisqu'il y a une telle bijection si toutes les chambres sont occupées sauf la 0 (parmi plein d'autres exemples).

Plein veut simplement dire que toute chambre a un occupant; il existe une application (injective) de l'ensemble des chambres vers l'ensemble des occupants potentiels.

[Les Terres Bleues]

Plein veut simplement dire que toute chambre a un occupant; il existe une application (injective) de l’ensemble des chambres vers l’ensemble des occupants potentiels.

Puisque le gérant de cet hôtel détient logiquement toutes les clés de cette infinité de chambres, quelque part on doit pouvoir trouver un tableau où sont accrochées toutes ces clés.
Il faut donc comprendre que le mathématicien peut accéder au tableau des clés, et que celui-ci par contre est partiellement (ou presque totalement) interdit au physicien qui ne peut pas ou ne sait pas ou ne veut pas manipuler des infinis.

La situation est donc bloquée à ce niveau-là. Du coup, on diagonalise la matrice et hop, tous les "improbables" sont évacués. On constate ainsi que ce n’est pas « la Nature » qui réduit la fonction d’onde mais que c’est bien le choix effectué par le physicien.
Après ça le résultat de la mesure ne peut qu’être conforme aux attentes statistiques exprimées.

J’en suis là de mes réflexions pour le moment.

Cordiales salutations.

[invite6754323456711]

il existe une application (injective) de l'ensemble des chambres vers l'ensemble des occupants potentiels.

Concernant l'ensemble des occupants, chacun d'eux occupent une chambre et une seule. Dans le cas d'une injection des éléments de l’ensemble Y peuvent ne pas occuper de chambre non ?

Patrick

[Amanuensis]

Concernant l'ensemble des occupants, chacun d'eux occupent une chambre et une seule. Dans le cas d'une injection des éléments de l’ensemble Y peuvent ne pas occuper de chambre non ?

Un occupant potentiel occupe ou pas une chambre. (La terminologie peut être améliorée...)

L'injection que j'ai mentionnée indique qu'une chambre a au plus un occupant.

[Amanuensis]

Puisque le gérant de cet hôtel détient logiquement toutes les clés de cette infinité de chambres, quelque part on doit pouvoir trouver un tableau où sont accrochées toutes ces clés.

Si on essaye de faire entrer cet hôtel dans un modèle physique on trouvera plein de problèmes, dont en toute vraisemblance certains sans solution cohérente avec la physique courante.

Dans mes favoris il y a la simultanéité ou la durée des mouvements pour modifier les chambres pour "finalement" libérer la 0.

Il y a souvent une exigence de "suspension of disbelief" quand des mathématiques sont "illustrées" par des exemples "réalistes", quittant ainsi le royaume des symboles.

[invite6754323456711]

Un occupant potentiel occupe ou pas une chambre. (La terminologie peut être améliorée...)

L'injection que j'ai mentionnée indique qu'une chambre a au plus un occupant.

Cela reste dans le périmètre de la spécification de l'hotel de Hilbert ?

Patrick

[Les Terres Bleues]

Il y a souvent une exigence de "suspension of disbelief" quand des mathématiques sont "illustrées" par des exemples "réalistes", quittant ainsi le royaume des symboles.

C’est dommage, je trouvais l’exercice amusant.
Maintenant, il va falloir que je me remette à bosser sérieusement.

[invite6754323456711]

Cela reste dans le périmètre de la spécification de l'hotel de Hilbert ?

Ok, je viens de revisiter la finalité de l'anecdote des chambres d’hôtel de Hilbert : si l’hôtel de Hilbert est vide, un car infini de touristes se présente dans lequel il y a autant de touristes que de nombres réels, il sera impossible de les loger tous en donnant à chacun une chambre pour lui tout seul.

Patrick

[Les Terres Bleues]

Ok, je viens de revisiter la finalité de l'anecdote des chambres d’hôtel de Hilbert : si l’hôtel de Hilbert est vide, un car infini de touristes se présente dans lequel il y a autant de touristes que de nombres réels, il sera impossible de les loger tous en donnant à chacun une chambre pour lui tout seul.

Il me semble que ça reste impossible même en en mettant plusieurs par chambre voire une infinité, non ?

[Médiat]

Il me semble que ça reste impossible même en en mettant plusieurs par chambre voire une infinité, non ?

On peut même les mettre tous dans la même chambre ; ce que l'on peut dire, c'est qu'au moins une chambre contient "autant" d'occupants que la totalité de l'hôtel

[invite6754323456711]

Il me semble que ça reste impossible même en en mettant plusieurs par chambre voire une infinité, non ?

La distinction porte sur infinie dénombrable / non dénombrable. il n’existe pas d’injection de l'ensemble des Réels dans l'ensemble des entiers naturel N : on dit que l’ensemble des réels n’est pas dénombrable.

Dans les cas particulier E = Z, E = Q et même E = N × N, on peut trouver une injection de E dans N. On dit que Z, Q et N × N sont dénombrables.

Patrick

[Médiat]

La distinction porte sur infinie dénombrable / non dénombrable

C'est plus général que cela, rien n'interdit d'envisager un hôtel de Hilbert non dénombrable, cela ne résoudrait pas tous les problèmes.

[Les Terres Bleues]

C’est plus général que cela, rien n’interdit d’envisager un hôtel de Hilbert non dénombrable, cela ne résoudrait pas tous les problèmes.

Mais qui resterait dehors alors ?
Les complexes, les quaternions et les autres ?