[Maths] [1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

[Gwyddon]

Voici un exercice proposé par chr57 :

Trouvez toutes les fonctions f et g de dans telles que :

f(x-y) = f(x) - f(y) - g(x).g(y)

De plus, f doit être croissante.

[anonymus]

Bonsoir.
Si je peux me permettre, un petit cours sur les équations fonctionnelles.
http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf

[anonymus]

Supposons x = y il vient f(0) = -2g(x) = - 2g(y)
Supposons x = y = 0 il vient f(0) = -2g(0)
Par transitivité, -2g(x) = -2g(0) = -2g(y)
Soit : g(x) = g(y) = g(0) = constante.
g est une fonction constante.

C'est juste ?

[anonymus]

Le 2 est en exposant...

[Gwyddon]

Non

Tu as fait une erreur d'étourderie sur g (relis bien l'égalité, ce n'est pas que des signes + partout )

EDIT : bon tu as vu ta faute, alors au boulot

Mais peut-être plus tard, là tu devrais déjà être en train de te reposer

[anonymus]

Supposons x=y
f(0) = f(x)-f(x) - g²(x)
f(0) = -g²(x) ce qui est impossible car f(0) > 0 puisque f est croissante.
x est différent de y.

Ca au moins c'est bon hein ?

[Gwyddon]

f(x) = x-1.

f(0) = -1, pourtant f est croissante

[anonymus]

J'ai du mal là...
J'en suis à :

Supposons x = y il vient f(0) = -g²(x) = -g²(y)
Supposons x=y=0 il vient f(0) = -g²(0)
Par transitivité : g²(0) = g²(x) = g²(y)

[Gwyddon]

Ok. Donc que peux tu dire de g ?

[anonymus]

g(x) = g(y) ou g(x) = -g(y) ?
J'vois pas trop :/

[Gwyddon]

Non non non.. On reprend ensemble : tu as obtenu, grâce à quelques manipulations astucieuses, que pour x quelconque tu as g(0) = g(x)² .

Tu peux en déduire quoi sur g ?

[anonymus]

Que g > 0
Mais j'ai jamais obtenu ça :O

J'ai g²(0) = g²(x) = g²(y)

[kNz]

g²(0) prend une seule valeur.
g²(x) = g²(0) dit exactement que ..

[Gwyddon]

Désolé, je voulais dire g(0)² = g(x)²

Bon mais tu n'as toujours pas dit ce que je voulais que tu dises...

[anonymus]

g²(0) = g²(x)
Or g²(0) est une constante, qu'on appelle a.

ou