[Maths] [1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

[invite9c9b9968]

Voici un exercice proposé par chr57 :

Trouvez toutes les fonctions f et g de dans telles que :

f(x-y) = f(x) - f(y) - g(x).g(y)

De plus, f doit être croissante.
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[invitefc60305c]

Bonsoir.
Si je peux me permettre, un petit cours sur les équations fonctionnelles.
http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf

[invitefc60305c]

Supposons x = y il vient f(0) = -2g(x) = - 2g(y)
Supposons x = y = 0 il vient f(0) = -2g(0)
Par transitivité, -2g(x) = -2g(0) = -2g(y)
Soit : g(x) = g(y) = g(0) = constante.
g est une fonction constante.

C'est juste ?

[invitefc60305c]

Le 2 est en exposant...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Non

Tu as fait une erreur d'étourderie sur g (relis bien l'égalité, ce n'est pas que des signes + partout )

EDIT : bon tu as vu ta faute, alors au boulot

Mais peut-être plus tard, là tu devrais déjà être en train de te reposer

[invitefc60305c]

Supposons x=y
f(0) = f(x)-f(x) - g²(x)
f(0) = -g²(x) ce qui est impossible car f(0) > 0 puisque f est croissante.
x est différent de y.

Ca au moins c'est bon hein ?

[invite9c9b9968]

f(x) = x-1.

f(0) = -1, pourtant f est croissante

[invitefc60305c]

J'ai du mal là...
J'en suis à :

Supposons x = y il vient f(0) = -g²(x) = -g²(y)
Supposons x=y=0 il vient f(0) = -g²(0)
Par transitivité : g²(0) = g²(x) = g²(y)

[invite9c9b9968]

Ok. Donc que peux tu dire de g ?

[invitefc60305c]

g(x) = g(y) ou g(x) = -g(y) ?
J'vois pas trop :/

[invite9c9b9968]

Non non non.. On reprend ensemble : tu as obtenu, grâce à quelques manipulations astucieuses, que pour x quelconque tu as g(0) = g(x)² .

Tu peux en déduire quoi sur g ?

[invitefc60305c]

Que g > 0
Mais j'ai jamais obtenu ça :O

J'ai g²(0) = g²(x) = g²(y)

[invitea7fcfc37]

g²(0) prend une seule valeur.
g²(x) = g²(0) dit exactement que ..

[invite9c9b9968]

Désolé, je voulais dire g(0)² = g(x)²

Bon mais tu n'as toujours pas dit ce que je voulais que tu dises...

[invitefc60305c]

g²(0) = g²(x)
Or g²(0) est une constante, qu'on appelle a.

ou

[invite9c9b9968]

Ça j'aime

Donc tu peux identifier deux classes de fonctions possibles pour g:

_ celles qui sont identiquement constantes (et donc continues).

_ celles qui ont au moins deux points dont la valeur de g en ces points est différentes. C'est une classe de fonctions discontinues.

Je te laisse continuer maintenant

[invitefc60305c]

Supposons et
Alors



Or
donc

donc
Finalement on a :

Ainsi, f est une fonction linéaire.

[invite9c9b9968]

Pas mal

Joliment amené

Pour conclure encore plus mieux, tu peux me donner la fin de la démo ? En me donnant les fonctions f et g précisément, et en me montrant que tu as raisonné de façon correcte

[invitefc60305c]

Je ne comprends pas :/

g(x) = 0 ?
f(x) = mx avec m réel.

[invite9c9b9968]

C'est ton dernier mot ?

[invitefc60305c]

Euhhhhhhhhhhhh
OUI !
HOP PAGE DE PUB

Nan sérieusement... j'comprends pas vraiment ce que tu veux

[invite9c9b9968]

En fait ce que j'essaye de te faire sentir est la clef de voûte de ton raisonnement.

Bon déjà en vitesse : f(x)=m*x avec m réel ne marche pas toujours, puisque l'on te demande f croissante

Ensuite, et c'est le plus important, tu n'as pour l'instant rien démontré.

En effet, tu as raisonné par implication : "si f et g sont solutions, alors blablabla". Tu as trouvé des conditions nécessaires pour f et g, mais il faut aussi qu'elles soient suffisantes.

Qui te dit que les solutions que tu trouves à la fin sont effectivement solution ? Il te faut donc vérifier que les fonctions que tu trouves vérifient bien le problème initial

Si ce que je te dis ne te paraît pas clair sur cet exercice, pense à la résolution de l'équation suivante : . Comment t'y prendrais-tu ?

[invitefc60305c]

blabla...

Il faut que je vérifie mes solutions au cas où j'aurai des solutions (a priori) en trop, c'est ça ?

avec m > 0


hu?

[invite9c9b9968]

blabla...

Il faut que je vérifie mes solutions au cas où j'aurai des solutions (a priori) en trop, c'est ça ?

Tout juste, voire même si tes solutions sont bien solutions tout simplement. D'ailleurs lors de l'élevation au carré, tu as fait une hypothèse implicite, à savoir 2-x >0.


Dès que l'on raisonne par implication, il faut surtout ne pas rater la dernière étape, qui est l'étape de vérification. Ici elle est évidente je te l'accorde, mais ne pas la mentionner démolit complètement ton raisonnement et ta démonstration.

Les maths, c'est rigoureux, et aux olympiades de maths c'est la rigueur qui est le maître mot

[invitefc60305c]

Oh d'accord d'accord.
Bon j'dois avouer que ça me semblait inutile (enfin fastidieux) même si mon prof (de spé) vérifie toujours (au cas où...).
Ahh, ça fait du bien de l'avoir terminé :P
Même si j'ai dû me faire aider.

Merci bcp.

[invitea7fcfc37]

Ouai mais y a toujours un gros lourd qu'arrive après la bataille

Question subsidiaire : même si sous entendu, le correcteur aimerait que l'on redémontre la chose suivante :

Les fonctions f telles que f(x-y) = f(x) - f(y) sont les fonctions linéaires.

[invite9c9b9968]

Oh d'accord d'accord.
Bon j'dois avouer que ça me semblait inutile (enfin fastidieux) même si mon prof (de spé) vérifie toujours (au cas où...).

Ahh, ça fait du bien de l'avoir terminé :P
Même si j'ai dû me faire aider.

Merci bcp.

Le truc c'est que tu avais saisi de suite la démarche, tu as juste bloqué sur des points de logique. Ceci dit, je te conseille de travailler ces points, car non seulement ils sont importants si tu passes les olympiades ou le CG, mais encore plus si tu compte faire une prépa.

C'est pratiquement sur ce genre de choses fastidieuses que se fait la différence aux concours d'entrée Centrale-Supélec ou Mines-Ponts : la rigueur jusqu'au bout...

Sinon pas de quoi, je suis là pour aider aussi

[invite9c9b9968]

Ouai mais y a toujours un gros lourd qu'arrive après la bataille

Question subsidiaire : même si sous entendu, le correcteur aimerait que l'on redémontre la chose suivante :

Les fonctions f telles que f(x-y) = f(x) - f(y) sont les fonctions linéaires.

Mmh pas faux .

C'est très possible qu'une démo soit refusée sans ça d'ailleurs, car je doute fortement que l'étude des équations fonctionnelles soit au programme du lycée

[invitea7fcfc37]

Indication :

Montrer que pour tout x rationnel, on a f(x) = x*f(1).
Etendre ensuite cela à x réel.

Une autre piste plus tard si blocage.

[invite9c9b9968]

Je vais mon lourd à mon tour, car j'ai une question débile qui me vient à l'esprit :

Si l'on ne suppose pas f continue, comment montrer que f(x-y)=f(x)-f(y) entraîne f linéaire ?