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[Maths] [1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle



  1. #1
    Gwyddon

    [Maths] [1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle


    ------

    Voici un exercice proposé par chr57 :

    Trouvez toutes les fonctions f et g de dans telles que :

    f(x-y) = f(x) - f(y) - g(x).g(y)

    De plus, f doit être croissante.

    -----
    Dernière modification par Gwyddon ; 19/02/2007 à 22h44.

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  3. #2
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Bonsoir.
    Si je peux me permettre, un petit cours sur les équations fonctionnelles.
    http://www.animath.fr/cours/eqfonc.pdf
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  4. #3
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Supposons x = y il vient f(0) = -2g(x) = - 2g(y)
    Supposons x = y = 0 il vient f(0) = -2g(0)
    Par transitivité, -2g(x) = -2g(0) = -2g(y)
    Soit : g(x) = g(y) = g(0) = constante.
    g est une fonction constante.

    C'est juste ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  5. #4
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Le 2 est en exposant...
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Non

    Tu as fait une erreur d'étourderie sur g (relis bien l'égalité, ce n'est pas que des signes + partout )

    EDIT : bon tu as vu ta faute, alors au boulot

    Mais peut-être plus tard, là tu devrais déjà être en train de te reposer
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  8. #6
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Supposons x=y
    f(0) = f(x)-f(x) - g²(x)
    f(0) = -g²(x) ce qui est impossible car f(0) > 0 puisque f est croissante.
    x est différent de y.

    Ca au moins c'est bon hein ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    f(x) = x-1.

    f(0) = -1, pourtant f est croissante
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  11. #8
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    J'ai du mal là...
    J'en suis à :

    Supposons x = y il vient f(0) = -g²(x) = -g²(y)
    Supposons x=y=0 il vient f(0) = -g²(0)
    Par transitivité : g²(0) = g²(x) = g²(y)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  12. #9
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Ok. Donc que peux tu dire de g ?
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  13. #10
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    g(x) = g(y) ou g(x) = -g(y) ?
    J'vois pas trop :/
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  14. #11
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Non non non.. On reprend ensemble : tu as obtenu, grâce à quelques manipulations astucieuses, que pour x quelconque tu as g(0) = g(x)2 .

    Tu peux en déduire quoi sur g ?
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  15. #12
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Que g > 0
    Mais j'ai jamais obtenu ça :O

    J'ai g²(0) = g²(x) = g²(y)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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  17. #13
    kNz

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    g²(0) prend une seule valeur.
    g²(x) = g²(0) dit exactement que ..

  18. #14
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Désolé, je voulais dire g(0)2 = g(x)2

    Bon mais tu n'as toujours pas dit ce que je voulais que tu dises...
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  19. #15
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    g²(0) = g²(x)
    Or g²(0) est une constante, qu'on appelle a.

    ou
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  20. #16
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Ça j'aime

    Donc tu peux identifier deux classes de fonctions possibles pour g:

    _ celles qui sont identiquement constantes (et donc continues).

    _ celles qui ont au moins deux points dont la valeur de g en ces points est différentes. C'est une classe de fonctions discontinues.

    Je te laisse continuer maintenant
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  21. #17
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Supposons et
    Alors



    Or
    donc

    donc
    Finalement on a :

    Ainsi, f est une fonction linéaire.
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  22. #18
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Pas mal

    Joliment amené

    Pour conclure encore plus mieux, tu peux me donner la fin de la démo ? En me donnant les fonctions f et g précisément, et en me montrant que tu as raisonné de façon correcte
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  24. #19
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Je ne comprends pas :/

    g(x) = 0 ?
    f(x) = mx avec m réel.
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  25. #20
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    C'est ton dernier mot ?
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  26. #21
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Euhhhhhhhhhhhh
    OUI !
    HOP PAGE DE PUB

    Nan sérieusement... j'comprends pas vraiment ce que tu veux
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  27. #22
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    En fait ce que j'essaye de te faire sentir est la clef de voûte de ton raisonnement.

    Bon déjà en vitesse : f(x)=m*x avec m réel ne marche pas toujours, puisque l'on te demande f croissante

    Ensuite, et c'est le plus important, tu n'as pour l'instant rien démontré.

    En effet, tu as raisonné par implication : "si f et g sont solutions, alors blablabla". Tu as trouvé des conditions nécessaires pour f et g, mais il faut aussi qu'elles soient suffisantes.

    Qui te dit que les solutions que tu trouves à la fin sont effectivement solution ? Il te faut donc vérifier que les fonctions que tu trouves vérifient bien le problème initial

    Si ce que je te dis ne te paraît pas clair sur cet exercice, pense à la résolution de l'équation suivante : . Comment t'y prendrais-tu ?
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  28. #23
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle




    blabla...

    Il faut que je vérifie mes solutions au cas où j'aurai des solutions (a priori) en trop, c'est ça ?

    avec m > 0


    hu?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  29. #24
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message



    blabla...

    Il faut que je vérifie mes solutions au cas où j'aurai des solutions (a priori) en trop, c'est ça ?
    Tout juste, voire même si tes solutions sont bien solutions tout simplement. D'ailleurs lors de l'élevation au carré, tu as fait une hypothèse implicite, à savoir 2-x >0.


    Dès que l'on raisonne par implication, il faut surtout ne pas rater la dernière étape, qui est l'étape de vérification. Ici elle est évidente je te l'accorde, mais ne pas la mentionner démolit complètement ton raisonnement et ta démonstration.

    Les maths, c'est rigoureux, et aux olympiades de maths c'est la rigueur qui est le maître mot
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  31. #25
    anonymus

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Oh d'accord d'accord.
    Bon j'dois avouer que ça me semblait inutile (enfin fastidieux) même si mon prof (de spé) vérifie toujours (au cas où...).
    Ahh, ça fait du bien de l'avoir terminé :P
    Même si j'ai dû me faire aider.

    Merci bcp.
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  32. #26
    kNz

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Ouai mais y a toujours un gros lourd qu'arrive après la bataille

    Question subsidiaire : même si sous entendu, le correcteur aimerait que l'on redémontre la chose suivante :

    Les fonctions f telles que f(x-y) = f(x) - f(y) sont les fonctions linéaires.


  33. #27
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Oh d'accord d'accord.
    Bon j'dois avouer que ça me semblait inutile (enfin fastidieux) même si mon prof (de spé) vérifie toujours (au cas où...).

    Ahh, ça fait du bien de l'avoir terminé :P
    Même si j'ai dû me faire aider.

    Merci bcp.
    Le truc c'est que tu avais saisi de suite la démarche, tu as juste bloqué sur des points de logique. Ceci dit, je te conseille de travailler ces points, car non seulement ils sont importants si tu passes les olympiades ou le CG, mais encore plus si tu compte faire une prépa.

    C'est pratiquement sur ce genre de choses fastidieuses que se fait la différence aux concours d'entrée Centrale-Supélec ou Mines-Ponts : la rigueur jusqu'au bout...

    Sinon pas de quoi, je suis là pour aider aussi
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  34. #28
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Ouai mais y a toujours un gros lourd qu'arrive après la bataille

    Question subsidiaire : même si sous entendu, le correcteur aimerait que l'on redémontre la chose suivante :

    Les fonctions f telles que f(x-y) = f(x) - f(y) sont les fonctions linéaires.

    Mmh pas faux .

    C'est très possible qu'une démo soit refusée sans ça d'ailleurs, car je doute fortement que l'étude des équations fonctionnelles soit au programme du lycée
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  35. #29
    kNz

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Indication :

    Montrer que pour tout x rationnel, on a f(x) = x*f(1).
    Etendre ensuite cela à x réel.

    Une autre piste plus tard si blocage.

  36. #30
    Gwyddon

    Re : [Maths][1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

    Je vais mon lourd à mon tour, car j'ai une question débile qui me vient à l'esprit :

    Si l'on ne suppose pas f continue, comment montrer que f(x-y)=f(x)-f(y) entraîne f linéaire ?
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