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Équation fonctionnelle



  1. #1
    Le lyceen59155

    Équation fonctionnelle


    ------

    Bonsoir,


    J'ai un petit probleme pour une question :

    La voici ; on considere f(x+y)*f(x-y)=(f(x)*f(y))² et on doit justifier qu'il existe a dans R tel f(a)=0 implique f(0)=0 et que si f n'est pas l'application nulle f(R) est inclus dans R+* ou R-*.

    Voila je vous remercie de m'aider.

    -----

  2. #2
    Ksilver

    Re : Equation fonctionnel.

    Salut !


    est ce que f est suposé continu ?

  3. #3
    Le lyceen59155

    Re : Equation fonctionnel.

    Pardon oui f est continue de R dans R.

  4. #4
    Le lyceen59155

    Re : Equation fonctionnel.

    Personne ne pouraait m'aider s'il vous plait car j'y arrive pas.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : Équation fonctionnelle

    Salut,

    Ta première question est bizarre : en effet si f n'est pas l'application nulle, alors f(0) est différent de 0...

    Tu pourras répondre à la deuxième question une fois que tu auras compris quel est le comportement de f(0) dans le cas où f est différente de l'application nulle.

    Note : f n'a nullement besoin d'être continue dans l'exercice.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    Le lyceen59155

    Re : Équation fonctionnelle

    au question precedente on avait justifier que f est l'application nulle ssi f(0)=0 et la question d'apres c'est justifier qu'il existe a dans R tel que f(a)=0 implique f(0)=0.Pour me faire bien comprendre!

    Je doit connaitre le signe de la fonction f solution de l'equa fonct, mais connaitre ceci a partir d'une equation fonctionelle....(comment doit procede etudier la parite ....) .

  8. #7
    Gwyddon

    Re : Équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    au question precedente on avait justifier que f est l'application nulle ssi f(0)=0 et la question d'apres c'est justifier qu'il existe a dans R tel que f(a)=0 implique f(0)=0.Pour me faire bien comprendre!
    Ta deuxième question est vraiment bizarre : s'il existe a tel que f(a)=0 implique f(0)=0, alors f est l'application nulle d'après la première... Donc tu n'as rien à démontrer et la question n'a pas vraiment de sens

    Pour la dernière question, essaye de déterminer la valeur de f(0) si f est non-nulle ; ensuite tu prends un r quelconque, et tu le décomposes en r=... + ... où les ... sont tes x et y, bien choisis, afin d'exploiter l'information que tu as sur f(0). Je ne t'en dis pas plus, sinon ce serait faire l'exercice à ta place
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #8
    Le lyceen59155

    Re : Équation fonctionnelle

    ok jvais ytravailler mais pour la premiere question , jtest recopier exactement ce qui est sur le poly.

  10. #9
    Taar

    Re : Équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Bonsoir,


    J'ai un petit probleme pour une question :

    La voici ; on considere f(x+y)*f(x-y)=(f(x)*f(y))² et on doit justifier qu'il existe a dans R tel f(a)=0 implique f(0)=0 et que si f n'est pas l'application nulle f(R) est inclus dans R+* ou R-*.

    Voila je vous remercie de m'aider.
    Salut.
    C'est faux en l'état. Considère la fonction f définie par


    Quand on prend cette fonction f, les deux membres de l'équation fonctionnelle peuvent seulement valoir 0 ou 1. Les seuls cas possibles d'équation fonctionnelle non vérifiée sont :
    • 1=0 : alors x+y est rationnel et x-y est rationnel ; donc x et y sont rationnels, et le second membre est 1. Ce cas est donc impossible.
    • 0=1 : alors x est rationnel et y est rationnel ; donc x+y et x-y sont rationnels, et le premier membre est 1. Ce cas est donc impossible

    La continuité me semble donc importante.

    Taar.

  11. #10
    Gwyddon

    Re : Équation fonctionnelle

    Bonjour,

    Je n'ai rien compris à ton message. Que cherches-tu à démontrer ? En quoi ta fonction f vérifie l'équation fonctionnelle ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #11
    Ksilver

    Re : Équation fonctionnelle

    Oui c'est justement pour ca que je demandais si on supposait f continu...


    si f(a)=0

    alors d'apres l'équation on a f(0)f(a)=f(a/2+a/2)f(a/2-a/2)=f(a/2)^4

    donc f(a/2)^4=0
    donc f(a/2)=0

    de meme f(a/4)=0, f(a/8)=0.. f(a/2^n)=0
    et donc par continuité en 0 f(0)=0


    ensuite si f(0)=0 alors f(2x)f(x-x)=f(x)^4
    donc f(x)=0 pour tous x.

    donc si f n''est pas la fonction null il en résulte que f ne s'anule pas (car f s'anule => f(0)=0 => f=0 )
    et si f ne s'annule on a par le TVI qu'elle soit toujours positive soit toujours négative ! d'ou le résultat.

  13. #12
    Gwyddon

    Re : Équation fonctionnelle

    Ok je vois maintenant ce que signifie la question 1 : c'est "soit a dans IR. Montrer que f(a)=0 implique f(0)=0", ce qui n'est pas pareil que "montrer qu'il existe a dans IR tel que f(a)=0 implique f(0)=0"

    Effectivement, pour assurer que f ne s'annule pas, il me semble que la continuité est nécessaire (en tout cas elle simplifie la démo !). Mais si on relaxe la condition, on a ça pour toute fonction f vérifiant l'équation :

    Soit f vérifiant l'équation fonctionnelle.

    Alors pour x quelconque, y nul, on a f(x)2=f(x)2 f(0)2 ie pour tout x :

    f(x)2 (1-f(0)2) = 0

    _ si f(0)=0, alors pour tout x f(x)2=0 donc f(x)=0 : f est nulle

    _ si f est nulle, f(0)=0 trivialement

    D'où l'équivalence f nulle <-> f(0)=0

    Si f(0) non nul, f(0)= 1 ou -1.

    Donc avec x=r/2, y=r/2 :

    f(r)f(0) = f(r/2)4 donc f(r) est du signe de f(0), pour tout r.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #13
    Ksilver

    Re : Équation fonctionnelle

    c'est juste une histoir de paranthésage, enfait il fallait lire :
    "montrer que (il existe a dans IR tel que f(a)=0) implique f(0)=0"

  15. #14
    Le lyceen59155

    Re : Équation fonctionnelle

    Merci pour toute vos reponses mais je croyait que vous aviez compris la question.

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