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équation fonctionnelle



  1. #1
    edpiste

    équation fonctionnelle


    ------

    Bonjour à tous.

    Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque



    Est-il vrai qu'il existe un (peut-être ?) et une constante tels que

    ?

    On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

    Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
    J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.

    Toute idée bienvenue.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    edpiste

    Re : équation fonctionnelle

    Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
    Problème simplifié :

    Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,

    .

    Montrer ou infirmer que

    ,

    On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

  4. #3
    rvz

    Re : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Bonjour à tous.

    Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque



    Est-il vrai qu'il existe un (peut-être ?) et une constante tels que

    ?

    On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.

    Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
    J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.

    Toute idée bienvenue.
    Salut,

    Ton approche est bizarre, le cas critique est plutot le cas où f(2t) = 2 f(t), ce qui revient à dire f(t) = t. Dans ce cas, ça échoue.
    Avec les hypothèses que tu ajoutes, on a donc envie d'essayer des trucs du genre f(t) = (1+t) ln(1+t), et effectivement, c'est convexe, croissant, et limite de f(t)/t est bien égale à + infini, mais ce n'est jamais comparable à un t^p avec p>1...

    __
    rvz

  5. #4
    rvz

    Re : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
    Problème simplifié :

    Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,

    .

    Montrer ou infirmer que

    ,

    On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.
    Question plus dure.
    Cas critique : f(t) = 2^t. Dans ce cas, f(2t) est de l'ordre de f(t)^2.
    Autre essai :

    Dans ce cas, on a toutes les hypothèses, y compris la convexité en l'infini. Mais il se trouve que f(2t)/f(t)^2 est de l'ordre de exp(\sqrt{2t} - 2\sqrt{t}) qui tend vers 0 quand t tend vers l'infini.

    Ces contre exemples te conviennent-ils ?

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    edpiste

    Re : équation fonctionnelle

    oui désolé je me suis planté dans le premier énoncé.
    Merci pour les contre-exemple en exponentielle racine de t, je vais le méditer.

  8. #6
    edpiste

    Re : équation fonctionnelle

    Posons g(t)=f(t)/2^t. Alors g vérifie

    g(t+1)> g(t)

    Donc, pour n'importe quelle fonction g croissante, f(t)=2^tg(t) vérifie l'hypothèse principale.

    Bon, je vais chercher une meilleure formulation du problème.

    Merci en tous cas rvz, tu as toujours des idées intéressantes.

  9. Publicité
  10. #7
    rvz

    Re : équation fonctionnelle

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Merci en tous cas rvz, tu as toujours des idées intéressantes.
    En fait, j'ai souvent l'impression qu'on bosse sur des trucs assez proches... Ceci explique peut-être cela.

    __
    rvz

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