Bonjour à tous.
Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque
Est-il vrai qu'il existe un(peut-être
On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.
Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.
Toute idée bienvenue.
Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
Problème simplifié :
Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,
Montrer ou infirmer que
On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.
Salut,Envoyé par edpiste
Bonjour à tous.
Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t quelconque
Est-il vrai qu'il existe un
On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.
Sur tous les exemples (croissance pire qu'exponentielle), ça a l'air de marcher.
J'ai une preuve notamment si Ln(f) est convexe.
Toute idée bienvenue.
Ton approche est bizarre, le cas critique est plutot le cas où f(2t) = 2 f(t), ce qui revient à dire f(t) = t. Dans ce cas, ça échoue.
Avec les hypothèses que tu ajoutes, on a donc envie d'essayer des trucs du genre f(t) = (1+t) ln(1+t), et effectivement, c'est convexe, croissant, et limite de f(t)/t est bien égale à + infini, mais ce n'est jamais comparable à un t^p avec p>1...
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rvz
Question plus dure.Je refais une petite tentative, au cas où ça intéresse quelqu'un.
Problème simplifié :
Soit f une fonction de R+ dans R+ telle que pour t>0,
Montrer ou infirmer que
On pourra supposer que f est croissante, convexe et que f(t)/t tend vers l'infini à l'infini.
Cas critique : f(t) = 2^t. Dans ce cas, f(2t) est de l'ordre de f(t)^2.
Autre essai :
Dans ce cas, on a toutes les hypothèses, y compris la convexité en l'infini. Mais il se trouve que f(2t)/f(t)^2 est de l'ordre de exp(\sqrt{2t} - 2\sqrt{t}) qui tend vers 0 quand t tend vers l'infini.
Ces contre exemples te conviennent-ils ?
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rvz
oui désolé je me suis planté dans le premier énoncé.
Merci pour les contre-exemple en exponentielle racine de t, je vais le méditer.
Posons g(t)=f(t)/2^t. Alors g vérifie
g(t+1)> g(t)
Donc, pour n'importe quelle fonction g croissante, f(t)=2^tg(t) vérifie l'hypothèse principale.
Bon, je vais chercher une meilleure formulation du problème.
Merci en tous cas rvz, tu as toujours des idées intéressantes.
En fait, j'ai souvent l'impression qu'on bosse sur des trucs assez proches... Ceci explique peut-être cela.
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rvz
