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[TS+] Equation fonctionnelle



  1. #1
    anonymus

    [TS+] Equation fonctionnelle


    ------

    Bonjour.
    Je bloque sur des questions de cet exo, une ptite aide serait la bienvenue ! merci

    Soit E l'ensemble des fonctions f : R -> R tq :
    f continue sur R.
    f s'annule au moins une fois sur R.
    R on a

    1)a) Mq la fonction nulle est dans E.
     Cliquez pour afficher

    b) Mq la fonction cos est dans E.
     Cliquez pour afficher

    c) Si f appartient à E et si t est un réel non nul, mq E

    2) On considère une fonction f appartenant à E. Prouver que :
    a) f(0) = 0 ou 1.
     Cliquez pour afficher

    b) si f(0) = 0 alors f = 0.
     Cliquez pour afficher

    c) si f(0) = 1 alors f paire.
     Cliquez pour afficher

    d) si f(0) = 1 alors R on a
     Cliquez pour afficher

    e) si f s'annule en a un réel non nul, alors réel on a
    En déduire que f est 4a-périodique.

     Cliquez pour afficher


    Donc voila, je bloque sur la 1)c) et la dernière question 2)e) !

    -----
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  2. #2
    Gwyddon

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Salut,

    Je n'ai pas regardé la e), mais j'ai regardé la c. Qu'est-ce qui te bloque exactement dessus ? Rappelle-toi que t est non nul
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #3
    martini_bird

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Salut,

    1c), il s'agit de montrer que la fonction g(x)=f(tx) vérifie g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y) sachant que f est dans E...

    2e) indice : 2a-x=a+(a-x) et x=a-(a-x)...

    Cordialement.

    EDIT : encore grillé par Gwyddon !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Bonsoir et merci d'avoir répondu !

    1)c) g(x) = f(tx)
    g(y) = f(ty)
    g(x+y) = f(tx + fy)
    g(x-y) = f(tx - ty)

    g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
    or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
    f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
    En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
    f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
    Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

    Right ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Bonsoir et merci d'avoir répondu !

    1)c) g(x) = f(tx)
    g(y) = f(ty)
    g(x+y) = f(tx + fy)
    g(x-y) = f(tx - ty)

    g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
    or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
    f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
    En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
    f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
    Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

    Right ?
    Oui c'est ça.
    Cogito ergo sum.

  7. #6
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Pour la périodicité, tu as f(2a-x)= -f(x)
    En changeant x en -x, cela te donne: f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
    Et enfin x+4a=(x+2a)+2a .
    Cogito ergo sum.

  8. #7
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    2)e)
    2a - x = a + (a-x)
    On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
    On pose X = a et Y = a-x
    Et le tour est joué ! (merci beaucoup Martini !)
    Moi j'essayais d'utiliser la parité et f(x) = 2[f(x/2)]² - 1
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  9. #8
    Gwyddon

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Pour la 1c), tu n'as pas encore tout vérifié... Qu'en est-il de la nullité de la fonction ft en au moins 1 point ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  10. #9
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Ah bien vu Gwyddon
    f s'annule au moins une fois sur R.
    Je n'avais pas vu cette condition.
    Cogito ergo sum.

  11. #10
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    J'ai un peu de mal à comprendre mais si on prend t=1 ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  12. #11
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Ton t est fixé une bonne fois pour toute. C'est un réel non nul.
    Tu sais qu'il existe a tq f(a)=0.
    Et ft(x)=f(tx)
    Comment arriver à f(a) grâce à ft ?
    (n'oublie pas t non nul !)
    Cogito ergo sum.

  13. #12
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Si x = a/t alors f(tx) = f(a) = 0
    Or ft(x) = f(tx)
    Donc ft(x) = ft(a/t) = 0

    Right ?

    PS: N'importe quoi mon t=1 ! Il est tard (une bonne excuse ça hein :P)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  14. #13
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Oui c'est bien ça.
    Après pour la continuité, une composée de fonctions continues sur IR l'est aussi.
    Donc ft appartient bien à E.
    Cogito ergo sum.

  15. #14
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Oki ! Merci beaucoup pour ton (et aussi Gwyddon et Martini) aide !
    Si jamais t'as des exos assez dur (genre de prépa) faisables par un TS (et aussi du temps à me consacrer), n'hésite pas à les poster stp !
    Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  16. #15
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...
    Non pas du tout . Si j'en trouve j'en posterai.

    EDIT: on a répondu sur tes fonctions périodiques, il manque juste un petit truc pour la 2.
    Cogito ergo sum.

  17. #16
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Tiens, j'ai trouvé ce petit exo pas trop méchant sur un autre forum. C'est sensé être niveau TS, mais on voit très peu (voire jamais) ce genre de choses. Parcontre c'est bien pour la prépa.

    a un réel,
    f une application de IR dans IR dérivable en a tq et

    Justifier qu'il existe un intervalle I contenant a vérifiant:
    si alors
    Cogito ergo sum.

  18. #17
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Déjà j'ai beaucoup de mal dès que la question formulée fait apparaître l'existence, du genre "montrer qu'il existe... etc"
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  19. #18
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Je te donne un petit coup de pouce:

    signifie:

    tel que si alors
    Cogito ergo sum.

  20. #19
    Gwyddon

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Un autre conseil : méditer sur la définition d'une dérivée
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #20
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Si t'es cardiaque, ne lis pas ce qui va suivre parce que ça a l'air d'être n'importe quoi !

    Par hypothèse f est dérivable en a => f continue en a <=> lim(x->a) f(x) = f(a) = a
    <=>
    tel que si alors

    Comme et on peut écrire :



    Soit



    Avec on a

    D'où

    Soit

    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  22. #21
    FonKy-

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Je pense que t'a tout bon anonymus la

    Je voudrai revenir sur le 1er exo, on voit marquer a la 2-c: si f(0) = 1 alors f paire.
    Mais il me semble que la fonction est tout le temps paire

    démo :


    cette propriété est également vraie pour -y

    donc

    1er cas : f est la fonction nulle qui est paire

    2e cas :



    =>

    => f est paire


    A confirmer

  23. #22
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    tel que si alors

    Comme et on peut écrire :

    Non .
    0.5<1
    1<1.5
    Et pourtant 1/0.5=2 >1.5/1=1.5

    C'est vrai que c'était une bonne idée f dérivable => f continue. Mais tu peux y aller encore plus directement. Que t'inspire [f(x)-f(a)]/[x-a] ?


    Fonky, je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives à f(x)f(y)=f(x)f(-y) ?
    Dernière modification par Ledescat ; 24/07/2007 à 10h21.
    Cogito ergo sum.

  24. #23
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Cela m'inspire... un taux d'accroissement...

    lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  25. #24
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Cela m'inspire... un taux d'accroissement...

    lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)
    Exact. Traduis donc cette limite plutôt .
    Cogito ergo sum.

  26. #25
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)

    <=>

    tel que si alors

    On pose et le travail est fait ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  27. #26
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message

    On pose et le travail est fait ?
    Exactement !
    Comme quoi il est souvent plus facile de montrer une existence que d'expliciter clairement .
    Bien joué !
    Cogito ergo sum.

  28. #27
    anonymus

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    D'accord, merci beaucoup pour cet exo !
    Il était pas si méchant que ça, même si l'énoncé m'a fait peur au début
    Si t'en as d'autres...

    Les exo en prépa seront de ce genre ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  29. #28
    Ledescat

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message

    Les exo en prépa seront de ce genre ?
    Oui en analyse. Il y a bien plus dur forcément, mais faut bien un commencement .
    Cogito ergo sum.

  30. #29
    FonKy-

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Fonky, je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives à f(x)f(y)=f(x)f(-y) ?
    ben,
    soit g(x,y)=f(x+y)+f(x-y) et h(x,y)=2f(x)f(y)
    on a: g=h
    or: g(x,-y)=g(x,y)
    donc: h(x,y)=h(x,-y) => 2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)

    non ?

    FonKy-

  31. #30
    FonKy-

    Re : [TS+] Equation fonctionnelle

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    Les exo en prépa seront de ce genre ?
    En analyse de sup tu verra forcément ce genre d'exo dans des exo du cours et demo, mais apres ce qui en est des colles et ds et en spé on en a plus parlé

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