[TS+] Equation fonctionnelle

[invitefc60305c]

Bonjour.
Je bloque sur des questions de cet exo, une ptite aide serait la bienvenue ! merci

Soit E l'ensemble des fonctions f : R -> R tq :
f continue sur R.
f s'annule au moins une fois sur R.
R on a

1)a) Mq la fonction nulle est dans E.

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trivial

b) Mq la fonction cos est dans E.

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trivial si on sait que et

c) Si f appartient à E et si t est un réel non nul, mq E

2) On considère une fonction f appartenant à E. Prouver que :
a) f(0) = 0 ou 1.

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Supposons x=y=0 alors 2f(0) = f²(0) donc f(0) = 0 ou 1.

b) si f(0) = 0 alors f = 0.

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Supposons y = 0 alors on a 2f(x) = 0 <=> f(x) = 0

c) si f(0) = 1 alors f paire.

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Supposons alors <=>

d) si f(0) = 1 alors R on a

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Supposons ...

e) si f s'annule en a un réel non nul, alors réel on a
En déduire que f est 4a-périodique.

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Supposons f(0) = 1 donc f paire. Voila c'est tout

Donc voila, je bloque sur la 1)c) et la dernière question 2)e) !
-----

[Gwyddon]

Salut,

Je n'ai pas regardé la e), mais j'ai regardé la c. Qu'est-ce qui te bloque exactement dessus ? Rappelle-toi que t est non nul

[martini_bird]

Salut,

1c), il s'agit de montrer que la fonction g(x)=f(tx) vérifie g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y) sachant que f est dans E...

2e) indice : 2a-x=a+(a-x) et x=a-(a-x)...

Cordialement.

EDIT : encore grillé par Gwyddon !

[invitefc60305c]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonsoir et merci d'avoir répondu !

1)c) g(x) = f(tx)
g(y) = f(ty)
g(x+y) = f(tx + fy)
g(x-y) = f(tx - ty)

g(x+y) + g(x-y) = f(tx + fy) + f(tx - fy)
or f appartient à E donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
En posant X = tx et Y = ty avec t réel non nul, on a :
f(tx + fy) + f(tx - fy) = 2f(tx)f(ty)
Donc par transitivité, g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)

Right ?

Oui c'est ça.

[invitec053041c]

Pour la périodicité, tu as f(2a-x)= -f(x)
En changeant x en -x, cela te donne: f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
Et enfin x+4a=(x+2a)+2a .

[invitefc60305c]

2)e)
2a - x = a + (a-x)
On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
On pose X = a et Y = a-x
Et le tour est joué ! (merci beaucoup Martini !)
Moi j'essayais d'utiliser la parité et f(x) = 2[f(x/2)]² - 1

[Gwyddon]

Pour la 1c), tu n'as pas encore tout vérifié... Qu'en est-il de la nullité de la fonction f_t en au moins 1 point ?

[invitec053041c]

Ah bien vu Gwyddon

f s'annule au moins une fois sur R.

Je n'avais pas vu cette condition.

[invitefc60305c]

J'ai un peu de mal à comprendre mais si on prend t=1 ?

[invitec053041c]

Ton t est fixé une bonne fois pour toute. C'est un réel non nul.
Tu sais qu'il existe a tq f(a)=0.
Et ft(x)=f(tx)
Comment arriver à f(a) grâce à ft ?
(n'oublie pas t non nul !)

[invitefc60305c]

Si x = a/t alors f(tx) = f(a) = 0
Or ft(x) = f(tx)
Donc ft(x) = ft(a/t) = 0

Right ?

PS: N'importe quoi mon t=1 ! Il est tard (une bonne excuse ça hein :P)

[invitec053041c]

Oui c'est bien ça.
Après pour la continuité, une composée de fonctions continues sur IR l'est aussi.
Donc ft appartient bien à E.

[invitefc60305c]

Oki ! Merci beaucoup pour ton (et aussi Gwyddon et Martini) aide !
Si jamais t'as des exos assez dur (genre de prépa) faisables par un TS (et aussi du temps à me consacrer), n'hésite pas à les poster stp !
Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...

[invitec053041c]

Enfin c'est beaucoup demandé surtout pendant les vacs...

Non pas du tout . Si j'en trouve j'en posterai.

EDIT: on a répondu sur tes fonctions périodiques, il manque juste un petit truc pour la 2.

[invitec053041c]

Tiens, j'ai trouvé ce petit exo pas trop méchant sur un autre forum. C'est sensé être niveau TS, mais on voit très peu (voire jamais) ce genre de choses. Parcontre c'est bien pour la prépa.

a un réel,
f une application de IR dans IR dérivable en a tq et

Justifier qu'il existe un intervalle I contenant a vérifiant:
si alors

[invitefc60305c]

Déjà j'ai beaucoup de mal dès que la question formulée fait apparaître l'existence, du genre "montrer qu'il existe... etc"

[invitec053041c]

Je te donne un petit coup de pouce:

signifie:

tel que si alors

[Gwyddon]

Un autre conseil : méditer sur la définition d'une dérivée

[invitefc60305c]

Si t'es cardiaque, ne lis pas ce qui va suivre parce que ça a l'air d'être n'importe quoi !

Par hypothèse f est dérivable en a => f continue en a <=> lim(x->a) f(x) = f(a) = a
<=>
tel que si alors

Comme et on peut écrire :



Soit



Avec on a

D'où

Soit

[FonKy-]

Je pense que t'a tout bon anonymus la

Je voudrai revenir sur le 1er exo, on voit marquer a la 2-c: si f(0) = 1 alors f paire.
Mais il me semble que la fonction est tout le temps paire

démo :


cette propriété est également vraie pour -y

donc

1er cas : f est la fonction nulle qui est paire

2e cas :



=>

=> f est paire


A confirmer

[invitec053041c]

tel que si alors

Comme et on peut écrire :

Non .
0.5<1
1<1.5
Et pourtant 1/0.5=2 >1.5/1=1.5

C'est vrai que c'était une bonne idée f dérivable => f continue. Mais tu peux y aller encore plus directement. Que t'inspire [f(x)-f(a)]/[x-a] ?


Fonky, je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives à f(x)f(y)=f(x)f(-y) ?

[invitefc60305c]

Cela m'inspire... un taux d'accroissement...

lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)

[invitec053041c]

Cela m'inspire... un taux d'accroissement...

lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)

Exact. Traduis donc cette limite plutôt .

[invitefc60305c]

lim [f(x)-f(a)]/[x-a] avec x -> a = f'(a)

<=>

tel que si alors

On pose et le travail est fait ?

[invitec053041c]

On pose et le travail est fait ?

Exactement !
Comme quoi il est souvent plus facile de montrer une existence que d'expliciter clairement .
Bien joué !

[invitefc60305c]

D'accord, merci beaucoup pour cet exo !
Il était pas si méchant que ça, même si l'énoncé m'a fait peur au début
Si t'en as d'autres...

Les exo en prépa seront de ce genre ?

[invitec053041c]

Les exo en prépa seront de ce genre ?

Oui en analyse. Il y a bien plus dur forcément, mais faut bien un commencement .

[FonKy-]

Fonky, je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives à f(x)f(y)=f(x)f(-y) ?

ben,
soit g(x,y)=f(x+y)+f(x-y) et h(x,y)=2f(x)f(y)
on a: g=h
or: g(x,-y)=g(x,y)
donc: h(x,y)=h(x,-y) => 2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)

non ?

FonKy-

[FonKy-]

Les exo en prépa seront de ce genre ?

En analyse de sup tu verra forcément ce genre d'exo dans des exo du cours et demo, mais apres ce qui en est des colles et ds et en spé on en a plus parlé