Bonsoir tout le monde,
j'ai un probleme pour trouver un polynome.
On cherche l'ensemble des polynomes de C[X] satisfaisant la relation : P(X²) = P(X)*P(X+1)
j'ai demontré que les racines de P appartiennent a {0,1,-j,-j²} et que si a est une racine de P alors a^(2^n) et (a-1)^(2^n) sont aussi racines.
je dois demontrer que a est different de -j et -j² ... maisje bloque
Merci d'avance
Bonjour,
J'ai voulu jeter un coup d'oeil parce que ça me paraissait simple... et du coup j'y suis depuis hier soir!
Alors on est bien d'accord: si A est racine de P, alors A² aussi, et par récurrence A(2^n) aussi. Comme P ne peut pas avoir 36000 racines il faut avoir An=A pour n fini.
Par ailleurs il est facile de voir que le coeff dominant de P ne peut être que 1. J'ai donc cherche des conditions sur les coeffs de P, on en trouve facilement sur le terme constant et sur les coeffs des termes de degré impair mais là c'est moi qui bloque...
Tu as trouvé plus de choses? Ça me titille les neurones et je suis sûr que c'est pas si dur... je suis un peu enfariné ce matin, c'est peut-être pour ça.
-- françois
Et bien fait, dans la conclusion de l'exercice ( derniere question) je dois demontrer que les polynomes sont de la forme X^k (X-1)^k .
Dans mon coin j'ai regardé le cas ou a^n et (a-1)^n n'avaient qu'un nombre fini de valeurs donc j'ai trouvé que a=0 convenait ainsi que a=1.
Mais si |a| = | a - 1 | =1 ca convient aussi (on obtient des racines de l'unité) -j et -j² (e^i*pi/3 et -e^i*pi/3)
et vu la derniere question -j et -j² ne sont pas racines .. mais pourquoi ?lol
On peut demonter que -j et -j² ne sont pas racines :
Si a est racine, on sait que (a - 1)² est aussi racine,
pour -j cela donne (-j - 1)² = (j + 1)² racine
j + 1 = -j², donc (j + 1)² = j^4 = j
Donc si -j est racine, j est aussi racine.
Ceci implique que (j - 1)² est aussi racine.
On a donc la suite (j - 1)2, (j - 1)^4, (j - 1)^8, ...,
(j - 1)^(2^n), etc sont des racines.
Hors | j - 1 | > 1, la suite | j - 1 |^(2^n) tend donc vers l'infini. Il y aurait donc dans ce cas une infinité de racines. On en déduit donc que -j ne peut pas etre racine.
Pour -j², la démonstration est du même topo.
Si -j² est racine, (-j² - 1)²=(j² + 1)² est aussi racine.
j² + 1 = - j, donc (j² + 1)² = j²
Donc si -j² est racine, j² est aussi racine et par suite
(j² - 1)², (j² - 1)^4, (j² - 1)^8, etc sont racines
| j² - 1 | > 1, donc la suite | j² - 1 | ^ (2^n) tend vers l'infini. Il y aurait donc une infinité de racines. On en déduit donc que -j² ne peut pas etre racine.
Les polynomes ne peuvent admettre que 0 et 1 comme racines.
Il s'écrivent donc P(X)=X^m * (X - 1)^n, car le coefficient de degré le plus fort est égal à 1.
Il faut ensuite montrer qu'on a forcément m = n
Merciiii j'ai compris !!
Merci beaucoup
