Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 5 sur 5

Equation fonctionnelle



  1. #1
    lolouki

    Equation fonctionnelle


    ------

    Bonsoir tout le monde,
    j'ai un probleme pour trouver un polynome.

    On cherche l'ensemble des polynomes de C[X] satisfaisant la relation : P(X²) = P(X)*P(X+1)

    j'ai demontré que les racines de P appartiennent a {0,1,-j,-j²} et que si a est une racine de P alors a^(2^n) et (a-1)^(2^n) sont aussi racines.

    je dois demontrer que a est different de -j et -j² ... maisje bloque

    Merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : Equation fonctionnelle

    Bonjour,

    J'ai voulu jeter un coup d'oeil parce que ça me paraissait simple... et du coup j'y suis depuis hier soir!

    Alors on est bien d'accord: si A est racine de P, alors A² aussi, et par récurrence A(2^n) aussi. Comme P ne peut pas avoir 36000 racines il faut avoir An=A pour n fini.
    Par ailleurs il est facile de voir que le coeff dominant de P ne peut être que 1. J'ai donc cherche des conditions sur les coeffs de P, on en trouve facilement sur le terme constant et sur les coeffs des termes de degré impair mais là c'est moi qui bloque...

    Tu as trouvé plus de choses? Ça me titille les neurones et je suis sûr que c'est pas si dur... je suis un peu enfariné ce matin, c'est peut-être pour ça.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    lolouki

    Re : Equation fonctionnelle

    Et bien fait, dans la conclusion de l'exercice ( derniere question) je dois demontrer que les polynomes sont de la forme X^k (X-1)^k .

    Dans mon coin j'ai regardé le cas ou a^n et (a-1)^n n'avaient qu'un nombre fini de valeurs donc j'ai trouvé que a=0 convenait ainsi que a=1.

    Mais si |a| = | a - 1 | =1 ca convient aussi (on obtient des racines de l'unité) -j et -j² (e^i*pi/3 et -e^i*pi/3)

    et vu la derniere question -j et -j² ne sont pas racines .. mais pourquoi ?lol

  5. #4
    armor92

    Re : Equation fonctionnelle

    On peut demonter que -j et -j² ne sont pas racines :
    Si a est racine, on sait que (a - 1)² est aussi racine,
    pour -j cela donne (-j - 1)² = (j + 1)² racine

    j + 1 = -j², donc (j + 1)² = j^4 = j

    Donc si -j est racine, j est aussi racine.
    Ceci implique que (j - 1)² est aussi racine.
    On a donc la suite (j - 1)2, (j - 1)^4, (j - 1)^8, ...,
    (j - 1)^(2^n), etc sont des racines.
    Hors | j - 1 | > 1, la suite | j - 1 |^(2^n) tend donc vers l'infini. Il y aurait donc dans ce cas une infinité de racines. On en déduit donc que -j ne peut pas etre racine.

    Pour -j², la démonstration est du même topo.
    Si -j² est racine, (-j² - 1)²=(j² + 1)² est aussi racine.
    j² + 1 = - j, donc (j² + 1)² = j²

    Donc si -j² est racine, j² est aussi racine et par suite
    (j² - 1)², (j² - 1)^4, (j² - 1)^8, etc sont racines


    | j² - 1 | > 1, donc la suite | j² - 1 | ^ (2^n) tend vers l'infini. Il y aurait donc une infinité de racines. On en déduit donc que -j² ne peut pas etre racine.

    Les polynomes ne peuvent admettre que 0 et 1 comme racines.
    Il s'écrivent donc P(X)=X^m * (X - 1)^n, car le coefficient de degré le plus fort est égal à 1.

    Il faut ensuite montrer qu'on a forcément m = n

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    lolouki

    Re : Equation fonctionnelle

    Merciiii j'ai compris !!

    Merci beaucoup

Discussions similaires

  1. Équation fonctionnelle
    Par Le lyceen59155 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 25/11/2007, 16h08
  2. équation fonctionnelle
    Par chentouf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 33
    Dernier message: 21/08/2007, 12h34
  3. [TS+] Equation fonctionnelle
    Par anonymus dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 43
    Dernier message: 25/07/2007, 12h58
  4. Equation fonctionnelle
    Par nicolasaubanel dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 03/01/2007, 09h08
  5. équation fonctionnelle
    Par edpiste dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 29/11/2006, 09h56