tangentes orthogonales à une parabole

[invite97b1ac47]

Bonjour, on m'a dit en maths que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes orthogonales à une parabole est la directrice de cette parabole. Et j'en arrive à ma question: d'où ce résultat provient-il?
Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Ca provient d'une propriété des coniques qu'on apprenait autrefois en terminale mais qu'on n'enseigne plus parce que le niveau a trop monté.
En gros, disons que si on prend un point M de la parabole, il est équidistant du foyer F et du point H, projection sur la directrice (c'est la définition de la parabole). Soit I le milieu de FH. On démontre alors que I est sur la tangente à l'origine et que IM est la tangente à la parabole en M.
Le reste est assez simple. On peut même dire que dans ce cas, les 2 points de contact M et M' forment une droite avec le foyer.

Dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, on a quelque chose de similaire mais ça donne un cercle et non une droite.

[invite97b1ac47]

Merci beaucoup. Je comprends à peu près. Par contre comment montrer que M,F et M' sont alignés?

[Jeanpaul]

Regarde les angles en F et tu verras aussi un rectangle quelque part avec F pour coin,l'autre sur la directrice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97b1ac47]

Effectivement... c'est bon j'ai compris(enfin je crois) . Merci beaucoup pour tes explications.

[invite97b1ac47]

Encore que...je suis d'accord pour le rectangle mais ça me gêne quand même: je suis pas sûr que ça suffise pour montrer que IFM et FI'M' sont semblables. Donc je voudrais pas abuser mais si je pouvais avoir une (petite) explication, svp...

[Jeanpaul]

Il ne s'agit pas de triangles semblables. L'angle IFI' est droit (c'est ça le rectangle). Appelons P la projection de F sur la directrice. Tu verras que FI est la bissectrice de MFP (n'oublie pas que M est équidistant de F et de la directrice). Tu conclus sur l'alignement de MFM'.

[invite97b1ac47]

Ah, ok... joli. Là c'est bon, j'ai compris. Merci encore du temps que tu m'as consacré.
Bonne fin de vacances/week-end.