Devoir Maison Aire rectangle inscrit dans une parabole et une droite

[invite4553e415]

Salut a tous, j'ai un petit problème avec un exercice dont l'énoncé est le suivant :
Dans un repère orthogonal
Sur la figure ci-dessous on a colorié en vert la région du plan limité par la parabole d'équation y=x² et la droite d'équation y=h avec h strictement positif. On veut inscrire comme l'indique la figure un rectangle ABCD dont la'ire soit la plus grande possible.

Prouvez qu'un tel rectangle existe et calculez ses dimensions en fonction de h.


La premiere question que je me pose est que si pour prouver que ce rectangle existe il faut utiliser h.
J'ai essayé d'exprimer la longueur et la largeur du rectangle en fonction de h pour en suite exprimer l'aire mais je n'arrive pas.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider en me donnant une iidée pour le faire? Ou me dire si avec mon idée je peux réussir à le faire?
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[mécano41]

Bonjour,

Pour démonter si un rectangle d'aire maxi existe, tu dois pouvoir dire que son aire se situe entre deux limites :

- vers quoi tend cette aire lorsque L'ordonnée de AB tend vers 0 ?
- vers vers quoi tend cette surface lorsque L'ordonnée de AB tend vers h ?

Comme l'aire ne peut être que positive, tu peux en tirer des conclusions.

Pour la suite, c'est comme tu l'as dit : AB et BC en fonction des coordonnées xb et yb du point B et de h.

Mais qu'as-tu fait exactement?

Ensuite si tu as trouvé l'aire en fonction de xb et h , comment dois-tu faire pour trouver le maxi de cette fonction ?

Bon courage

[invite4553e415]

Merci pour votre aide
J'ai réussi à démontrer que le rectangle existe grâce à votre réponse :
0<DC<2*(RACINE)h
0<DA<h
donc 0<DA*DC<2h*(RACINE)h

Mais je ne comprends pas la suite. Je pensais raisonner avec des longueurs, est-ce que c'est possible?

[danyvio]

Il faut que tu exprimes l'aire du rectagle en fonction de h et de l'abcisse de A (ou de B qu'importe). Tu trouveras une équation du second degré à dériver etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mécano41]

Non, ce que tu as écrit voudrait dire que le maxi de la surface est donné par le 3ème membre de l'inéquation, ce qui est faux.

Ce que je veux dire c'est que lorsque DA est maxi, DC est nul et, inversement, lorsque DC est maxi, DA est nul.

L'aire est nulle à ces deux bornes et ne peut être négative, alors que présente t'elle entre ces deux bornes?

Pour la suite, c'est ce qu'a dit Danyvio mais je voulais que tu me le dises toi-même!

Pour Danyvio : l'équation à dériver est incomplète, du troisième degré, pas du second.

Cordialement

[invite4553e415]

Merci beaucoup, je pense être maintenant sur le bon chemin :

2|x|*(h-x²)
=|x|*(-x²+2h)

Elle est incomplète?

[invite4553e415]

Ce que je veux dire c'est que lorsque DA est maxi, DC est nul et, inversement, lorsque DC est maxi, DA est nul.

L'aire est nulle à ces deux bornes et ne peut être négative, alors que présente t'elle entre ces deux bornes?

L'aire présente donc entre ces deux bornes 0 et le maximum de la fonction qui nous donne l'aire du rectangle.
On doit étudier cette fonction dans l'intervale ou se trouve x_A donc [-(RACINE)h,(RACINE)h]

[mécano41]

Dès l'instant où tu dis qu'entre les deux bornes zéro la fonction présente au moins un maxi, cela suffit à démontrer qu'il existe une valeur maxi de l'aire. CQFD.

Je disais incomplète car lorsque tu effectues, il n'y a pas de terme en x² (juste du x et du )

As-tu fait la dérivée?

[invite4553e415]

J'ai dérivé (-x²+2h) et grace au signe de |x|*(-x²+2h) on trouve un maximum et un minimum

[mécano41]

Je n'ai pas compris pourquoi tu te compliques la vie, à moins que le cours te l'impose...

Si tu considères les coordonnées Xb et Yb du point B (forcément positives), tu as comme tu l'as dit :

AB = 2.Xb et BC = h -Xb² donc l'aire est :

A = AB.BC = 2.Xb.(h-Xb²) soit, en effectuant

A = - 2Xb^3 + 2.Xb.h

Fonction que tu dérives, que tu égales à zéro et, en résolvant, qui va te donner l'abcisse de B, Xb pour l'aire maxi du rectangle. Il te reste à calculer l'ordonnée Yb puis AB et CB pour faire ensuite l'aire maxi AB.CB

[invite4553e415]

D'accord, j'ai compris, merci beaucoup pour votre aide.

[invite3da66cc6]

Bonjour, excusez-moi, mais je n'ai pas compris du tout la fin ? qu'est-ce qu'on est censer trouvé ? merci de vos futurs reponses.