Distance d'un point à une droite dans l'espace
Bonjour à tous !
Je ne comprend pas celà fait 30 min que je suis sur le probleme et je n'avance pas d'un poil, le probleme ne me semble pourtant pas compliqué, voici l'énoncé:
Soit le point M (1,3,-2) , la droite définie comme intersection entre le plan d'équation x+y-2z-1=O et un autre plan 2x-y+z+1=0.
Mon probleme est de determiner la distance entre le point M et cette droite mais je ne trouve pas !
Merci d'avance !
Salut,
Je ne sais pas s'il y a des méthodes toute faites, mais à ta place je chercherai un vecteur directeur u de ta droite, puis je chercherai le point A de la droite tel que AM.u=0 (A est le projeté orthogonal de M sur la droite). Tu as alors plus qu'à prendre la norme de AM...
Mais comment comptes tu avoir u ?
En jonglant entre les différentes équations de la droite...
Je crois que je viens d'etre touché par la lumiere, si je fixe un parametre, par exemple z=0, j'ai alors mes 2 equations de plan qui forment un systeme de 2 inconnues, je peux en deduire un point, puis je fais pareil pour une autre valeur, j'ai donc 2 pts qui appartiennent à la droite, donc ces 2 points forment un vecteur directeur....j'ai bon?
Connaissant un vecteur directeur u de ta droite, et un point A lui appartenant, la distance de la droite à M peut se calculer directement par:
d=||u^AM||/||u|| (^veut dire vectoriel)
car la norme de u^AM te donne l'aire du pallalélogramme engendré par ces 2 vecteurs, et une petite étude géométrique te montre qu'en divisant par la norme de u, tu récupères bien la distance à la droite.
Cordialement.
Re : Distance d'un point à une droite dans l'espace
Bonsoir Redvivi !
Désolé de cette réponse si tardive (a peine 2 ans et demi après ton post !) mais la réponse pourrait intéresser quelqu'un, tout comme je l'ai été en essayer de résoudre mon exercice.
En effet, je faisait l'annale de Bac de maths de 2008, quand je vois qu'on parle de distance d'un point à une droite, dans l'espace
(je me dit alors, "zut, ma prof de maths a encore zappé un bout du programme, comme d'hab').
Mais, en fait, non, et je trouve un peu vache de demander ça pour des Terminales, qui plus est pendant leur épreuve du bac !
Toujours est il que je me suis torturé la tête sur cet exercice, qui est faisable sans les produits vectoriels, qui ne sont pas au programme de TS, même de spécialité.
En plusieurs étapes (que je n'ai pas résolu ici, mon problème n'avait pas le même énoncé) :
• tu trouves l'équation paramétrique de la droite en faisant un système avec les 2 équations de plans.
• tu en déduis donc les coordonnées d'un point quelconque, que je nomme X(a,b,c) de cette droite
• Tu trouves l'ensemble des points tel que AM.AX = 0 (. = scalaire)
(c'est ce que voulait faire coincoin, avec A le projeté orthogonal)
Normalement, c'est une SPHERE
• Tu trouves les 2 points de cette sphère qui appartiennent a la droite, en faisant un petit systeme (tu trouves 2 paramètres de ta droite avec un trinôme)
• un des points correspond au point X que tu as choisi... et l'autre, BINGO, c'est le point A !
Tu n'a plus qu'a calculer la distance AM, et le tour est joué.
Normalement, ca marche a tous les coups, ou alors je vois pas pourquoi ca ne marcherait pas...
Amicalement, Raknipud
Re : Distance d'un point à une droite dans l'espace
Il y a une autre réponse et je pense qu'elle est bonne.
Tout d'abord il faut prendre un vecteur normale a chacun des plans, ensuite il faut faire le produit vectoriel entre les vecteurs ( qui sera le vecteur directeur a la droite ) .
Ensuite il faut trouvé un point appartenant aux 2 plans ( qui est super chiant a trouver lol)
Ensuite le tour est joué avec la formule d'un point a une droite.
