Position d'un point orienté dans l'espace

[invite92a05f35]

Bonjour,

N'ayant qu'un vague souvenir des programmes scolaire j'espère que j'ai choisi le bon forum.
Je suis confronté à un problème de maths appliqué en robotique un peu trop dur pour moi :
Dans un repère orthonormé (1) je dois connaître la position d'un autre repère (2), ce même repère étant défini par 3 points : P1, P2 et P3.
P1 et P2 forment l'axe y de mon repère (2), alors que P3 est un point de l'axe x, et la direction de l'axe Z n'a pas vraiment d'importance.
Voici ce que j'avais pensé faire :
- Calculer la projection orthogonale H de P3 sur la droite (P1,P2) afin d'obtenir l'origine du repère (2).
- Calculer les vecteurs (H,P1) (axe y) et (H,P3) (axe x) puis par produit vectoriel calculer le vecteur (H,P4). Ainsi je devrais obtenir les vecteurs origine de mon repère(2).

Normalement à ce point je devrait pouvoir calculer une matrice de passage du repère (2) vers le repère (1). Mais je bloque bien avant

Je n'arrive pas à calculer la projection de P3 sur (P1,P2).
J'ai essayé d'écrire la condition d'orthogonalité des vecteurs (P1,P2) et (H,P3) mais je n'obtient qu'une équation pour 3 inconnues (coordonnées de H). Là je me suis dis qu'il fallait alors écrire la condition de coplanarité (est-ce bien français ?) mais je ne me dépêtre pas de mes équations.
Alors j'ai essayé de prendre ce problème sous un autre angle en considérant qu'il faut calculer le plan P orthogonal a la droite (P1,P2) et passant par P3. A ce moment je devrais pouvoir calculer l'intersection de la droite (P1,P2) et du plan P.

Bref je patauge (j'aurais du être plus attentif à l'école). Ma demande est donc la suivante : est-ce que quelqu'un peu me guider un peu pour arriver à résoudre ce problème ?

Merci d'avance !
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[Jeanpaul]

Tu peux utiliser une astuce.
Appelle M un point de la droite P1 P2. Le point M est repéré par P1M = u*P1 P2 (des vecteurs, tout ça).
Tu calcules alors le carré de la distance P3M (c'est le théorème de Pythagore !) et tu écris que la dérivée de cette quantité par rapport à u est nulle. Ca te donnera u et tout de suite la projection de P3 qui est le point M correspondant à cette valeur particulière de u.

[invite92a05f35]

Tu peux utiliser une astuce.
Appelle M un point de la droite P1 P2. Le point M est repéré par P1M = u*P1 P2 (des vecteurs, tout ça).
Tu calcules alors le carré de la distance P3M (c'est le théorème de Pythagore !) et tu écris que la dérivée de cette quantité par rapport à u est nulle. Ca te donnera u et tout de suite la projection de P3 qui est le point M correspondant à cette valeur particulière de u.

J'ai un peu honte mais j'avoue ne pas êter sûr d'avoir tout compris
Du coté de Pythagore pas de problème (enfin je pense), j'obtiens |P3M|² = |P1P3|² - u²|P1P2|²
donc |P3M| = (|P1P3|² - u²|P1P2|²)^0.5
Après cela tu me dis qu'il faut dériver, si je ne m'abuse l'astuce est ici car la dérivé d'une quantité est nulle, c'est cela non ?
ce qui me donnerais

1/(2* (|P1P3|² - u²|P1P2|²)^0.5) = 0

je multiplie l'équation par (|P1P3|² - u²|P1P2|²)^0.5
ce qui me donne

(|P1P3|² - u²|P1P2|²)^0.5 / 2 * (|P1P3|² - u²|P1P2|²) = 0

En simplifiant puis en élevant au carré j'obtiens

|P1P3|² - u|P1P2|² = 0

u = (|P1P2|²/|P1P3|²)^0.5

Est-ce bien cela ?

Et merci d'avoir répondu si vite

[Jeanpaul]

Du coté de Pythagore pas de problème (enfin je pense), j'obtiens |P3M|² = |P1P3|² - u²|P1P2|²

Déjà, ce n'est pas juste car tu as oublié le double produit et pas de signe moins.
|P3M|² = |P3P1|² + 2 u P3P1*P1P2 + u² |P1P2|²
Ensuite, il faut dériver |P3M|² par rapport à u, ce n'est pas la peine de s'embêter avec la racine carrée et dire que la dérivée vaut 0 :
0 = 2 P3P1*P1P2 + 2 u |P1P2|²
Ca donne u donc le point M, pied de la perpendiculaire.

[A voir en vidéo sur Futura]