simplicité de SO(3)

[invite986312212]

bonjour à tous,

feuilletant hier un bouquin de physique, je suis tombé sur une démonstration de la simplicité du groupe SO(3). Cette démonstration était de nature analytique. Ca m'a un peu surpris parce que le résultat me semble purement algébrique. D'un autre côté, il s'agit de rotations d'un espace vectoriel réel, et dès que R intervient on peut s'attendre à voir la topologie pointer le bout de son nez.
D'où ma question: est-ce que ce théorème est comme celui de d'Alambert-Gauss, i.e. nécessite un argument analytique (ou topologique)? et question subsidiaire: est-ce que le groupe des rotations sur Q^3 est simple? (est-ce un groupe d'ailleurs?)
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je ne comprends pas trop la question : Qu'entends tu par argument analytique ?
Sinon, il me semble que pour démontrer que SO(3,R), la démonstration usuelle consiste à démontrer que les commutateurs ayant un élément non trivial de SO(3) engendrent SO(3,R). Je ne me souviens plus des détails, je le confesse, mais je ne vois pas trop comment ça pourrait ne pas marcher sur SO(3,Q) (qui est bien un groupe, comme tu t'en es sans doute aperçu depuis que tu as posé la question) ... Evidemment, je serai beaucoup plus clair si j'avais le Perrin sous la main

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rvz, qui ne fait pas avancer le schmilblick, mais qui prétend que la réponse est dans le Perrin.

[invite986312212]

la démonstration que j'ai lue utilise le fait que SO(3) n'est pas simplement connexe. D'accord, elle est topologique plus qu'analytique.

pour les rotations de Q^3, le fait est que je ne sais pas bien comment les définir: je pensais rotation d'un angle rationel autour d'un vecteur unitaire de Q^3 mais ça ne marche pas, par ailleurs une rotation d'angle pi est bien une bijection sur Q^3 mais pi n'est pas rationel. Quelle est la bonne définition?

[invite8b04eba7]

Sinon, il me semble que pour démontrer que SO(3,R), la démonstration usuelle consiste à démontrer que les commutateurs ayant un élément non trivial de SO(3) engendrent SO(3,R). Je ne me souviens plus des détails, je le confesse, mais je ne vois pas trop comment ça pourrait ne pas marcher sur SO(3,Q) (qui est bien un groupe, comme tu t'en es sans doute aperçu depuis que tu as posé la question) ... Evidemment, je serai beaucoup plus clair si j'avais le Perrin sous la main

Salut !

Moi je n'aime pas trop la demonstration du Perrin, mais j'en connais une qui utilise la connexite (amis agregatifs, a placer dans la lecon "connexite"), argument qui ne marche plus sur Q. Je vais essayer de retrouver les etapes :

- on considere un sous-groupe distigue G de SO₃, non trivial, et on regarde l'ensemble des commutateurs

ou h est la matrice

- si g est une rotation d'angle x, alors il est facile de voir que ghg^-1h¹ est une rotation d'angle y verifiant

du coup, on peut en iterant definir une suite cos(x_n) qui va converger vers le point fixe -1. Par connexite, l'ensemble des traces des elements de E est un segment. Il contient 3 et une suite qui tend vers -1, donc il contient 1, donc G contient un quart de tour, donc un demi tour, donc l'ensemble des traces est [-1,3] et G contient des rotations de tout angle.

Bon ca repond pas du tout a la question, mais je pense que pour le cas du corps Q, il suffit de raisonner par densite car SO₃(Q) est dense dans SO₃(R).

Pour un corps quelconque, on n'utilise ni topologie ni analyse, mais le theoreme de Cartan-Dieudonne (voir le Perrin) et on montre qu'a quelques corps finis pres, PSO_n(k) est simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Je comprends pas trop ce que tu veux dire pour SO(3,Q). Il me semble que par définition, c'est l'ensemble des matrices de O(3,Q) (qui est défini par t(A)A = Id, ce qui ne fait pas intervenir le corps où tu te places) de déterminant 1. Maintenant, est ce que ce groupe couvre tous les angles possibles ? Ca m'étonnerait, car Q est dénombrable et [0,2pi[ ne l'est pas. Est-ce qu c'est dense dans O(3,R) ? Ca, c'est beaucoup moins clair. A vue de nez, j'aurai dit qu'une matrice de O(3,R) est approchable par une matrice de M_n (Q) dont on peut faire la décomposition Q,R, avec Q orthogonal, et la norme de R-I devrait pouvoir s'estimer assez facilement. Cependant, j'ai peur que quand on fait la décomposition Q,R, on prend des racines carrés. Ce qui, sur Q, signifie la mort de la technique ...
Cela dit, je serai curieux de savoir si c'est vrai. En dimension 2, ça doit pouvoir se faire, encore que les calculs ne me semblent pas hyper simples. En dimension 3, peut être qu'à la fin du topic on arrivera à quelque chose qui nous permette de le faire. En dimension quelconque, je ne vois pas comment faire. Des idées ?

[edit : Je vois que Doudache affirme un résultat en dimension 3. Tu peux détailler ? ]
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rvz

[invite8b04eba7]

Je vois que Doudache affirme un résultat en dimension 3. Tu peux détailler ?

Je crois que le resultat, c'est que O_n(Q) est dense dans O_n(R) : pour le montrer il suffit d'approcher des les reflexions par des reflexions associes a des vecteurs unitaires de coordonnees rationnelles (peu etre un peu pipo).

Je crois que plus generalement, quand tu prends un groupe algebrique affine reductif connexe reel (hum), c'est a dire typiquement les groupes classique GL_n, SL_n, SP_n, O_n... alors le groupe des points rationnels est dense. C'est lie aux theoremes de structure de ces groupes.

[invite6b1e2c2e]

Je crois que le resultat, c'est que O_n(Q) est dense dans O_n(R) : pour le montrer il suffit d'approcher des les reflexions par des reflexions associes a des vecteurs unitaires de coordonnees rationnelles (peu etre un peu pipo).

Ok, ça, je veux bien le croire. J'irai même jusqu'à dire que ça a l'air vrai

Je crois que plus generalement, quand tu prends un groupe algebrique affine reductif connexe reel (hum), c'est a dire typiquement les groupes classique GL_n, SL_n, SP_n, O_n... alors le groupe des points rationnels est dense. C'est lie aux theoremes de structure de ces groupes.

C'est quoi cette horreur ? Ca a des chances d'être exprimables en termes intelligibles par un edpiste ?

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rvz

[invite986312212]

Ok, avec les matrices c'est plus clair. Mais je me pose tout de même la question de caractériser les rotations dans un Q-ev. Prenons le cas de la dimension 2 pour simplifier. Il me semble que ça revient à caractériser les angles theta pour lesquels cos(theta) et sin(theta) sont rationnels. En réduisant au même dénominateur, c'est le problème des triples pythagoriciens. Mais ensuite l'angle lui-même n'est pas nécessairement rationnel (par exemple pi).

[invite8b04eba7]

C'est quoi cette horreur ? Ca a des chances d'être exprimables en termes intelligibles par un edpiste ?

Disons qu'un groupe reductif, c'est le pendant des algebres de lie semi-simples, a ceci pres qu'on s'autorise a rajouter quelques trucs (par exemple M_n(k) n'est pas semisimple, mais sl_n l'est).

Les theoremes de structure sur les algebres de Lie semi-simples te donnent une decomposition de ton algebre en une algebre commutative maximale h et des espaces de dimension 1 sur lequels h agit par une forme lineaire (une racine).

L'equivalent groupe, c'est que tu disposes d'un tore maximal (typiquement les matrices diagonales de ton groupe) et de petits groupes a un parametre sur lequels T agit (par conjugaison) par multiplication par un morphisme de T vers (k,+) (l'equivalent des racines).

Tous les groupes algebriques lineaires classiques sont reductifs, avec quelques groupes en plus.

Un exemple : dans GL_n : le tore T c'est les matrices diagonales (isomorphe a (k*)ⁿ) ; il agit sur les sous-groupes {I+xE_ij} par

Du coup, en notation abelienne, les racines sont les , et forment un systeme de racines de type A_n-1

Plus generalement, un groupe reductif fini sera engendre par T et les groupes a un parametre. Pour chacun de ces groupe, la version sur Q est dense dans la version sur R, donc le tout est dense.

Voila, dis-moi si c'est un peu plus clair comme ca.

[invite6b1e2c2e]

OK, ton exemple avec Gln explique plutot bien ce qu'est un groupe réductif.

Maintenant, je continue à exhiber mon ignorance : Qu'est ce que c'est qu'un groupe affine ?

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rvz, qui a toujours eu du mal à ne pas se perdre dans tous ces noms ....

[GuYem]

Maigre contribution :
J'ai bien regardé la démo de Perrin et il insiste bien sur les caractères décisifs de R pour cette propriété :
-Stable par racine carrée (dommage pour Q)
-Archimédien, ou n'admettant pas d'éléments infiniment petits.

[invite8b04eba7]

Qu'est ce que c'est qu'un groupe affine ?

C'est un groupe algebrique qui, en tant que variete algebrique, est une variete affine. Par exemples, les groupes algebriques lineaires (sous-groupes fermes de GL_n) sont affines, et il se trouve que ce sont les seuls. C'est pour cela que l'on emploie les deux adjectifs un peu comme on veut.

A noter que la notion de "reductif" va toujours avec celle de groupe algebrique affine (ou lineaire) (ca fait partie de la definition).

[invitedca2956d]

bonjour,

Il est bien rare que pour un corps k le groupe SO(3,k) soit simple.

Il existe en effet un morphisme de groupes f:O(3,k)->k^*/k^*2 caractérisé sur les symétries comme suit :

Si s_x est la symétrie qui laisse l'orthogonal de x fixe et envoie x sur son opposé, alors f(s_x)=<x,x>.

Par exemple, si le corps k est fini de caractéristique impaire, k^*/k^*2 est d'ordre 2, et f, restreinte à SO(3,k), est surjective (ceci découle du fait qu'un espace quadratique non dégénéré de dimension au moins 2 sur un tel corps est universel).

De même si k est le corps des rationnels, l'image de f restreinte à SO(3,k) est d'ordre infini (bien que f ne soit pas surjective).