[TS+] Equation fonctionnelle

[invitec053041c]

ben,
soit g(x,y)=f(x+y)+f(x-y) et h(x,y)=2f(x)f(y)
on a: g=h
or: g(x,-y)=g(x,y)
donc: h(x,y)=h(x,-y) => 2f(x)f(y)=2f(x)f(-y)

non ?

FonKy-

Oui d'accord, mais de toutes les manières on n'a que 2 choix pour f(0). (0 ou 1)
S'il vaut 0, f est identiquement nulle, donc paire ...
Si f(0)=1 on montre aussi facilement qu'elle est paire (cf la méthode d'anonymus)
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[Gwyddon]

Si t'es cardiaque, ne lis pas ce qui va suivre parce que ça a l'air d'être n'importe quoi !

Je vais quand même commenter car tu as fait des erreurs qui je crois n'ont pas été relevées

Par hypothèse f est dérivable en a => f continue en a <=> lim(x->a) f(x) = f(a) = a
<=>
tel que si alors

Jusque là, tout va bien.

Comme et on peut écrire :

Ah ? Il me semble que passer à l'inverse change l'ordre des inégalités

D'autant plus que tu fais ici la supposition implicite que x est différent de a, ce qui ne fait pas partie de tes hypothèses

Soit

Ici tu fais une faute très classique et malheureusement très courante. En effet, rien ne te permet d'affirmer cela puisque à gauche de l'inégalité tu as une valeur absolue, on ne peut donc faire rentrer le 1/4 dans la valeur absolue sans plus de précautions

Avec on a

Là tu fais une faute de logique encore assez classique. En effet, il existe , ce qui ne signifie en aucune façon que tu peux le choisir comme tu le fais. Il existe, mais tu ne connais pas a priori sa valeur !

Je crois que grâce à cet exercice, tu ne referas plus toutes ces erreurs classiques

[invitec053041c]

Oui, c'est vrai que quand j'ai vu le passage au quotient d'inégalités je n'ai pas regardé la suite.

[invitefc60305c]

Oki, en gros j'ai fait n'importe quoi !
Par contre, pour l'inégalité et la valeur absolue, quels genres de précautions j'dois prendre ?

[invitec053041c]

|x|-1/4 différent dans le cas général de |x-1/4|
Le second est à coup sûr positif, le premier peut être négatif .
Moi personnellement j'ai toujours quelques difficultés à manipuler les ||.
Bon, le |a+b|=<|a|+|b| ça va.
Mais dès qu'il y a des différences, il faut que je regarde avec les cas critiques ce que cela donne pour voir si c'est juste ou pas .

[chr57]

salut,

2)e)
2a - x = a + (a-x)
On a : f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)
On pose X = a et Y = a-x
Et le tour est joué !

tu peux développer stp?, parce que j'ai pas fait comme ça .

[invitefc60305c]

f appartient à E.
Donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)

Maintenant on pose X = a et Y = a-x
Ce qui donne : f(a+a-x) + f(a-a+x) = 0
f(2a-x) + f(x) = 0
f(2a-x) = -f(x)

[chr57]

f appartient à E.
Donc quelque soit X et Y on a :
f(X+Y) + f(X-Y) = 2f(X)f(Y)

Maintenant on pose X = a et Y = a-x
Ce qui donne : f(a+a-x) + f(a-a+x) = 0
f(2a-x) + f(x) = 0
f(2a-x) = -f(x)

Ah woups ! J'avais oublier le

Prouver que

devant la question: j'avais admis ce résultat pour juste montrer que f était 4a-périodique !

quel clown !, je sors

[chr57]

Si déjà j'y suis :

On a (2a-x)+2a=4a-x et (2a-x)-2a=-x

d'où, sachant f(X+Y)+f(X-Y)=2f(X).f(Y), on a :

f(4a-x)+f(-x)=2.f(2a-x).f(2a)

or, f(2a)=2.f(a)²-f(0)=0-1=-1

d'où:

f(4a-x)=2f(x)-f(-x)=f(x) car f est paire. f est périodique de période 4a.

[invitec053041c]

Oui il y a plusieurs manières de montrer qu'elle est 4a-périodique.
J'avais fait quelque chose qui ressemblait à ça:
f(2a-x)=-f(x)
En changeant x en -x, on a f(x+2a)=-f(-x)=-f(x) (parité)
Donc f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-f(x+2a)=f(x)

[FonKy-]

Là tu fais une faute de logique encore assez classique. En effet, il existe , ce qui ne signifie en aucune façon que tu peux le choisir comme tu le fais. Il existe, mais tu ne connais pas a priori sa valeur !

hmm, chui pas d'accord, la il me semble qu'il a le droit. Quelqu'un pour nous departager
Il suppose qu'il existe et lui donne meme une valeur dépendant de Epsilon vu que epsilon est defini juste avant lui. Ensuite il se debrouille pour que ce qu'il affirme apres soit juste, donc je ne trouve pas ca choquant mais je peux effectivement me tromper

FonKy-

[invitec053041c]

Avec [...]

Certes eta dépend d'epsilon. Mais rien ne nous assure qu'il existe un tel couple (epsilon,eta) tel que
Ca peut...comme ça ne peut pas.

[FonKy-]

o_O i'm fully bewildered

pourquoi se poser la question est-ce qu'il existe puisqu'on choisit ce qu'on veut oO
puis il existe puisqu'on le choisit expres pour que la propriété soit vraie

nb: que c'est loin la sup -_- (il me semblait qu'on faisait comme ca)

[Médiat]

Ledescat a raison, la formule dit qu'il existe un eta mais ne dit pas à quoi il ressemble, donc on ne peut pas poser arbitrairement sa valeur...