[Maths] [1èreS] Olympiade : équation fonctionnelle

[kNz]

Ah ba oui tiens j'avais pas vu que c'était pas dans les hypothèses
Il va falloir distinguer plusieurs cas alors, parce que du coup convient là.
-----

[Gwyddon]

Ça dépasse de très loin le niveau de TS là, et même de premier cycle universitaire.

A mon avis la fonction f doit être continue et croissante. Dans ce cas c'est "facile" de démontrer que f doit être linéaire (en même temps, il faut connaître le fait que Q est dense dans R, et ça non plus en TS ce n'est pas au programme).

[kNz]

Rien que de savoir que tout réel est limite d'une suite de rationnels n'est pas au programme, c'est quand même bizarre que ça passe aux olympiades de première cet exo

edit : pas lu ton message en entier, désolé

[invitefc60305c]

Pour les entiers,

Soit n et m des entiers.
On a : f(n+m) = f(n) + f(m)

Supposons n=m il vient f(2n) = 2f(n)
On en déduit : f(3n) = f(2n + n) = f(2n) + f(n) = 3f(n)

Conjecture: f(a*n) = f(n*a) = n*f(a)

Preuve par récurrence:

Initialisation : pour n = 0 , f(a*0) = f(0) = 0 et 0*f(a) = 0 donc f(a*0) = 0*f(a)

Hérédité : Hypothèse de récurrence, on pose f(a*n) = n*f(a) vraie pour un entier n.

f(a*(n+1)) = f(an+a) = f(an) + f(a) = n*f(a) + f(a) = (n+1)*f(a).

Conclusion : (a*n) = n*f(a) vraie pour tout entier n.

On a : f(a*n) = n*f(a)
Donc avec a = 1, on a f(n) = n*f(1)
CQFD.

[Gwyddon]

C'est bien. Maintenant il faut que tu passes aux entiers négatifs, puis après aux rationnels

[kNz]

CQFD.

Meuh non ce qu'il fallait démontrer c'était pour les rationnels

bad joke

Et bien continue

edit : grilled

[invitefc60305c]

Pour les entiers négatifs,

On a f(n) = nf(1) pour tout n entier naturel.
Et plus généralement, f(an) = nf(a) avec a entier.

Soit m un entier positif.
f(-m) = f(m*-1) = m*f(-1)= m*f(-1*+1) = -m*f(1)

[kNz]

m*f(-1*+1) = -m*f(1)

Tu utilises quoi pour ce passage ?

[invitefc60305c]

le fait que f(an) = af(n)
avec a = -1
n = +1

[kNz]

Conclusion : f(a*n) = n*f(a)

Try again

[invitefc60305c]

f(an) = f(na) = nf(a) = af(n)

[kNz]

Non ce que je veux te dire c'est que tu utilises une propriété que tu as démontré uniquement pour les entiers naturels (raisonnement par récurrence). Tu ne peux pas l'appliquer à un entier négatif, c'est ce que tu essaies de démontrer

[invitefc60305c]

Autre tentative.

Soit n un entier négatif.
n est de la forme : n = p-k avec p et k des entiers tq: 0<p<k

f(n) = f(p-k) = f(p) - f(k) = p*f(1) - k*f(1) = (p-k)*f(1) = n*f(1)

[kNz]

Right.

Encore plus simple :

f(-n) = f(0-n) = f(0) - f(n) = -n f(1) où n est un entier naturel.

[invitefc60305c]

Soit un rationnel.

[kNz]

Encore une fois, tu appliques une propriété valable pour des entiers à un nombre de la forme 1/q, qui n'est pas entier

[invitefc60305c]

f(p) = p*f(1)
f(p) = f(pq/q) = q*f(p/q)

Par transitivité : p*f(1) = qf(p/q) <=> (p/q)*f(1) = f(p/q)
CQFD.

[invitefc60305c]

D'après un post antérieur, soit x un réel, x = p/q + etc

f(x) = f(p/q + etc)
On peut écrire d'après les résultats précédents
f(x) = f(1)[p/q + etc]
f(x) = x*f(1)

[kNz]

f(p) = p*f(1)
f(p) = f(pq/q) = q*f(p/q)

Par transitivité : p*f(1) = qf(p/q) <=> (p/q)*f(1) = f(p/q)
CQFD.

C'est bon, mais incomplet.
Tu n'as pas montré que f(nx) = nf(x) pour n entier et x rationnel, c'est ce que tu utilises à la deuxième ligne.

[invitefc60305c]

Soit x rationnel, n entier.

Initialisation : n = 0 , f(0*x) = 0*f(x) = f(0) = 0.

Hérédité: on pose f(nx) = nf(x) pour n fixé.

f(x(n+1)) = f(xn+x) = f(nx) + f(x) = nf(x)+f(x) = (n+1)f(x)

CCL: f(nx) = nf(x) pour tout n entier et tout x rationnel.

[kNz]

Alright

Maintenant il ne te reste plus qu'à l'étendre aux réels, et pour cela je te renvoie au cours que tu as donné en #2 page 10 propriété 3.

[invitefc60305c]

Soit x un réel.
Soit une suite de rationnels tel que lim en n -> de

D'après les résultats précédents, on a


donc lim n-> de lim n-> de
Donc

[invitefc60305c]

Je suppose que j'ai bon ()
L'exercice est fini ?

[Gwyddon]

Coucou,

C'est bon seulement si f est continue

Maintenant, suppose seulement f croissante, comment peux-tu t'en sortir ?

[invitefc60305c]

J'ai une question :
Pourquoi pour montrer que les fonctions f telles que f(x-y) = f(x) - f(y) sont les fonctions linéaires, il faut montrer que pour tout x réel, on a f(x) = x*f(1).

Gwyddon : je n'en ai aucune idée

[Gwyddon]

Salut,

Pour ta première question, simple : une fonction réelle linéaire est de la forme f : x -> x*f(1)

Pour la seconde, je te donne un gros indice : utilise des encadrements et un théorème de limite basé sur des encadrements

[invite2994e2b0]

je vois que vous connaissez le concours olympiade, est ce que vous pouvez m'expliquer c'est quoi exactement parce que je me suis inscrite mais je ne sais pas trop c'est quoi. En plus je le passe dans pas lontemps donc voila.
ciao!

[invitefc60305c]

kikoo.

Théorème des gendarmes !

Vu que je n'ai pas encore fait le cours sur les suites, je décide d'ouvrir mon livre de maths et....
Je tombe nez à nez avec un théorème très intéressant !
Tout nombre réel peut être encadré par les termes successifs de 2 suites et avec croissante et décroissante et .
Ce réel est la limite commune de 2 suites adjacentes de nbres décimaux.

On a donc :

comme f est croissante, f garde le sens des inégalités.
donc :

or et sont adjacentes par hypothèse, donc convergentes vers un même réel.
On met tout à la limite en

J'sais pas si c'est très clair ou rigoureux.