[Maths] [1èreS] Olympiades anglaises (nc)

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour à tous,

je vous soumets un petit exo tiré des Olympiades de maths anglaises (1996)

soit f définie par :
f(1) = 1996

et pour tout n>1, n²f(n) = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)

Donner la valeur exacte de f(1996)



Enjoy

Romain
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[danyvio]

Bonjour à tous,

je vous soumets un petit exo tiré des Olympiades de maths anglaises (1996)

soit f définie par :
f(1) = 1996

et pour tout n>1, n²f(n) = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)

Donner la valeur exacte de f(1996)



Enjoy

Romain

Je trouve 0,0009204 (merci Excel) mais es-tu certain de la formule de récurrence ? Il est rare qu'on exprime une formule sous la forme n²f(n) = etc. au lieu de f(n) = 1/n² * ...

[inviteae224a2b]

Le principe des olympiades est "trouver une solution analytique" sinon il ne demanderait pas le rang 1996!!!

[inviteaeeb6d8b]

Je trouve 0,0009204 (merci Excel) mais es-tu certain de la formule de récurrence ? Il est rare qu'on exprime une formule sous la forme n²f(n) = etc. au lieu de f(n) = 1/n² * ...

Mais qu'est-ce que cela change ?

et oui, on attend une réponse exacte

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0edb71fb]

Tout d'abord je me présente, Billie_Jean éléve de Terminale S {spé math}. Je suis nouvelle sur ce forum mais très heureuse de l'avoir découvert.

je vais essayer de résoudre ce problème même si je doute d'y être parvenue mais avant, pourquoi des olympiades anglaises ? Les notres sont pas assez difficiles ?

 Cliquez pour afficher

n^2f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)
d'ou f(1)= n^2f(n)-f(2)-f(3)-...-f(n-1)

donc (n^2+1)f(n+1)=n^2f(n)+f(n)=(n^ 2+1)f(n)

voila ca c'est fait.

Mais pour la suite ca se complique et j'espére que les petits anglais ont de bonnes calculatrices car il faut calculer le produit de (n^2+1)/(n^2+1) a partir de 2 et jusqu'a 1995, on appelle N ce produit.
f(1996)=f(2)*N=(1996/4)*N=499*N

f(2)=f(1)/4 car on ne peut avoir f(2) avec la précédente formule n>1.

Voila. Je doute que ce soit ca car je ne suis pas arriver a trouver N sous forme de fraction, mais si j'applique ma formule sur excel j'ais la même approximation que danyvio.

Voila.

PS: Si vous pouviez poster des exercices (assez difficil) sur les similitudes cela me ferait vraiment plaisir, la géométrie est mon principale point faible, et je n'en ais pas trouver beaucoup ici.

Merci.

[inviteaeeb6d8b]

Il n'y a pas besoin de calculatrice !
Et on se moque de la valeur approchée

je veux simplement f(1996) = ...


Une petite indication :

calculer f(2) en fonction de f(1)
puis f(3) en fonction de f(2) et f(1) puis que de f(1)

et par récurrence en déduire f(n) en fonction de f(1)

---

Cet exercice n'est pas très difficile par rapport aux exercices habituels des Olympiades françaises. Ca fait un entrainement


Romain

[inviteae224a2b]

donc (n^2+1)f(n+1)=n^2f(n)+f(n)=(n^ 2+1)f(n)

Y a un gros soucit là!!!!!

tu dis que f(n+1)=f(n) => suite constante

[invitefc60305c]

 Cliquez pour afficher

Bonsoir.
C'était un très gros indice, t'aurai ptête dû nous laisser mijoter



C'est ça ?

[invite0edb71fb]

Y a un gros soucit là!!!!!

tu dis que f(n+1)=f(n) => suite constante

Excuse moi je me suis trompée, ce que je voulais écrire c'est bien entendu que (n+1)^2f(n+1)=(n^2+1)f(n), grossiére faute d'inatention, comme quoi c'est pas toujours bon de copier-coller.

Sinon, je n'ais jamais fais de récurrence en 1ère , et de toute façon je ne vois vraiment pas quelle récurence tu peus faire.

f(2)=(1/4)f(1) et f(3)=(5/36)f(1) ...

[inviteaeeb6d8b]

Bon alors comment on fait pour cacher

 Cliquez pour afficher

je reprends :
f(2) = 1/4 f(1)
f(3) = 5/36 f(1)
f(4) = 1/16 (f(3) + f(2) + f(1))
= 1/16 f(1) ( 1+1/4+5/36)
= ...

continuez pour f(5) etc...

Anonymus, ta formule ne marche pas pour n=2

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Je vous ai mis sur une fausse piste

L'astuce :

 Cliquez pour afficher

il ne faut pas forcément tout réduire au même dénominateur et éventuellement garder des sommes de fractions

Romain

[invite0edb71fb]

Peus tu donner la solution, je trouve pas moi.

[invitec053041c]

Trouver une formule du terme général s'avère ardu romain, nous mets-tu vraiment sur la bonne voie?

[invitefc60305c]

Trop dur pour moi...
Un autre indice ?

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour bonjour,

de retour des concours, je précise un peu :

 Cliquez pour afficher

le terme général s'exprime à l'aide d'une somme finie (célèbre) qu'il ne faut pas essayer d'exprimer autrement que par une somme

Romain

[invite527bba59]

Je trouve f(n)=[(Produit de k=2 a n-1 de (1+1/k²)]xf(1)/n²

Mathematica confirme la valeur donnée.
Jvais voir si ya moyen de simplifier le produit.
Au passage, quelqu'un peut m'expliquer ou me dire trouver la méthode pour mettre en forme un calcul, que ce soit propre.

PS: Tu passes quoi comme concours ?

[inviteaeeb6d8b]

Je trouve f(n)=[(Produit de k=2 a n-1 de (1+1/k²)]xf(1)/n²

Mathematica confirme la valeur donnée.
Jvais voir si ya moyen de simplifier le produit.
Au passage, quelqu'un peut m'expliquer ou me dire trouver la méthode pour mettre en forme un calcul, que ce soit propre.

Voilà, c'est ça... (un peu simplifiable dans le cas présent quand même )

mais l'idée c'était de cacher la réponse Si un modérateur pouvait cacher...

Pour mettre en forme, c'est le .
A plusieurs endroits sur le forum on t'explique comment ça marche.

PS: Tu passes quoi comme concours ?

Mines Ponts, CCP, ENS. Et toi, tu es en prépa ?


Romain

[invitec053041c]

Ben je veux bien j'avais un truc pareil, mais exprimer sous forme de ou , je vois pas l'intéret ?

[inviteaeeb6d8b]

Pourquoi ?
La somme des inverses des carrés de 1 à 1996, c'est un nombre comme les autres... sauf qu'il s'écrit de manière bizarre.
C'est quand même intéressant : on passe d'une expression de récurrence, à une expression du terme général

Romain

[invitefc60305c]

C'est quand même intéressant : on passe d'une expression de récurrence, à une expression du terme général

C'est assez "classique" chez les Olympiades (il me semble nan ?), mais se retrouver avec une somme ou un produit, ça fait bizarre

[invite0edb71fb]

Juste pour dire, j'ai un résultat tout a fait bon! et il est de la même forme que celui de andremat... un minimum d'attention serait la bienvenue !

[invite527bba59]

Tu pourrais donner le terme général sous forme simplifiée stp.

ps pour romain : pareil +centrales (cho les math a mines )

[inviteaeeb6d8b]

Juste pour dire, j'ai un résultat tout a fait bon! et il est de la même forme que celui de andremat... un minimum d'attention serait la bienvenue !

Euh, je crois pas... dans ta réponse tu parles d'un produit

ps pour romain : pareil +centrales (cho les math a mines )

J'ai ouvert un topic sur les Mines dans la partie renseignements concours. Tu peux y donner ton avis (Maths 1 c'était chaud - ah la la les impasses mais Maths 2 était quand même à peu près faisable )

Romain

[invitec053041c]

Pour moi justement un terme général, c'est une formule dans laquelle on remplace n par sa valeur, et on calcule directement.
Pas une expression dans laquelle se trouve une somme que l'on doit calculer de 1 à n, ce qui frôle la récurrence...

[invite527bba59]

C'est pourtant ça : si tu remplace n par 1996 , tu obtiens bien un nombre, qui est plus ou moins difficile a évaluer, mais c'est un nombre parfaitement défini.

[invite6f9f6925]

Salut,
Après un calcul laborieux, la formule de récurrence semble être :

(le plus dure étant de trouver la bonne syntaxe avec LaTeX ).

Il reste à rendre calculable l'expression .

Existe-t-il une formule connue à ce sujet ?
Merci

[invite9a322bed]

désolé pour le retard je m'entraîne pour les Olympiades, donc voila j'ai trouvé cela comme réponse en 4min de reflexion

f(n) = [1996 +(n-1)(998)] / n^2

d'ou pour f(1996) = 0.5 à 10^-3 près.

Romain dit moi stp est ce que c'est juste, merci d'avance .