[MPSI/PCSI] Magnétostatique (cours) solénoïde

[.:Spip:.]

Bonjour,

Je sais que pour certains les concours approchent à grand pas. Je vous donne ce p'tit exo qui s'adresse aux sup et aux spé.

Puisque c'est du classique, même du cours, je fais un enoncé light.



Calculer la champ magnétique crée par une spire de courant sur son axe.
En déduire la champ sur l'axe d'une bobine (N spires / unité de longueur) de longueur L, de longueur infinie ...

Vous pouvez faire les graphiques, dessins que vous voulez, vous etes lachés

Note : il faut justifier avec le plus grand soin les symétries et invariances du problème.


Bonnes révisions.
François
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[invitec053041c]

Salut !

Pour le champ créé par une bobine infinie (solénoïde infini), ne peut-on pas directement utiliser le fait que le champ est uniforme à l'intérieur, nul à l'extérieur, de prendre un contour d'Ampère, et de trouver qqchose du genre Bx=mu(0) N I ?

de longueur L, de longueur infinie ...

Tiens tiens .

[invite8bc5b16d]

Salut !

Pour le champ créé par une bobine infinie (solénoïde infini), ne peut-on pas directement utiliser le fait que le champ est uniforme à l'intérieur, nul à l'extérieur, de prendre un contour d'Ampère, et de trouver qqchose du genre Bx=mu(0) N I ?



Tiens tiens .

Encore faut-il montrer que le champ est uniforme à l'intérieur et nul à l'extérieur (je l'accorde ca se fait assez rapidement par le théorème d'Ampère, mais encore faut-il le faire !)

Sinon l'énoncé proposé par Spip a l'avantage de faire revoir autre chose que le théorème d'Ampère, qui lui est généralement bien maitrisé

[.:Spip:.]

Salut !

Ah ben, Ledescat ... je crois que tu viens de remporter la super promo : 2 méthodes au lieu d'une

Allez qui se lance

François

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb7c0b04]

On remarque une invariance de la distribution de courant par rotation autour de l'axe zz'
Tout plans passant par le le plan de la spire est un plan de symétrie
Ce qui implique que la carte du champs doit etre invariant par rotation autour de l'axe zz'
B est nécessairement porté par l'axe zz' ( z ) et B est antisymétrique par rapport au plan de la spire.

Loi de Biot et Savart: B=(mu0/4pi)int sur la spire de I dlvectoriel (u/r²)

soit: B=(mu0.I.sin théta)/4.pi int sur spire de dl.z

int sur spire de dl = 2pi R et R/r=sin théta


on a : B=((mu0.I.sin^3théta)/2R).z


Voila

[invitebb7c0b04]

Oups j'ai oublier la suite !

En déduire la champ sur l'axe d'une bobine (N spires / unité de longueur) de longueur L

Pour une bobine on a un courant élémentaire : di=(N.I/L)dz

On reprend donc la formule calculé précédament:

B=(int sur le solénoide mu0.di.sin^3(théta)/2R).z

On remplace di

on remaque que cotan(théta)=(Z-z)/R soit Z-z=Rcotan(théta)=> dz=R/sin²(théta).dtétha

en remplaçant et en intégrant on obtient:

B=mu0.N.I/2L[cos théta1-cos théta2]z

, de longueur infinie ...

On fait tendre théta 1 et théta 2 vers 0

on a au final:

B=mu0.N.I/L.z


Le schéma arrivera plus tard

[.:Spip:.]

Bonjour à tous,

On remarque une invariance de la distribution de courant par rotation autour de l'axe zz'
Tout plans passant par le le plan de la spire est un plan de symétrie
Ce qui implique que la carte du champs doit etre invariant par rotation autour de l'axe zz'
B est nécessairement porté par l'axe zz' ( z ) et B est antisymétrique par rapport au plan de la spire.

Ce que j'ai souligné n'est pas très correct :
On peut dire :
Le plan contenant la spire est un plan de symétrie pour la distrib de courant. il y en a qu'un seul, dire tous plans, c'est osé et des plans qui passent par des plans

De plus, il ne faut pas oublier de dire que
les plans contenant l'axe Oz et passant par M, un point de la spire sont des plans d'antisymétrie pour la distrib de courant.

Oups j'ai oublier la suite !



Pour une bobine on a un courant élémentaire : di=(N.I/L)dz

On reprend donc la formule calculé précédament:

B=(int sur le solénoide mu0.di.sin^3(théta)/2R).z

On remplace di

on remaque que cotan(théta)=(Z-z)/R soit Z-z=Rcotan(théta)=> dz=R/sin²(théta).dtétha

en remplaçant et en intégrant on obtient:

B=mu0.N.I/2L[cos théta1-cos théta2]z




On fait tendre théta 1 et théta 2 vers 0

on a au final:

B=mu0.N.I/L.z


Le schéma arrivera plus tard

es-tu certain que c'est
et ?


le reste me semble correct sinon.


François.

[invite8bc5b16d]

Euh j'ai pas vérifié toute la démo (la flemme ^^), mais rien que le résultat final me choque :

B=mu0.N.I/L.z .......... donc B = 0 non ? puisque le solénoide est infini....

[.:Spip:.]

Euh j'ai pas vérifié toute la démo (la flemme ^^), mais rien que le résultat final me choque :

B=mu0.N.I/L.z .......... donc B = 0 non ? puisque le solénoide est infini....

oui oui oui, j'ai oublié une remarque, il faut revoir au début du calcul du solénoide lorsque tu utilises le nombre de spires par unité de longueur. C'est pas homogène.

Je penses que tu as voulu, non pas utiliser le nombre de spire par unité de longueur N qui s'exprime en m^-1

et non pas N/L : le nb de spires divisé par la longueur.
Si c'est à cela que tu as pensé c'est moi faux à ce moment là, B n'est plus nul, car on fait à N/L=Cste

heureusement qu'il y en a qui suivent merci


François