[Maths] [Prépa] Topologie sur les métriques

[doryphore]

Ex 1:

Soit (E,d) un espace métrique.

a) Soit et r > 0. Montrer que . Peut-on affirmer, dans le cas général, que ?

b) Si E est un -e.v.n., montrer que

[Quinto]

Salut,
intéressant et assez classique, cependant je ne suis pas sur que ce soit du niveau prépa, même MP*. Il me semble que l'on se restreint aux EVN dans le programme et donc d est toujours issue d'une norme.

[Gwyddon]

cela est un résultat de cours en MP (enfin, en tout cas c'est dans mon cours)

mais c'est très intéressant

D'ailleurs, pour aller plus loin : montrer que la boule unité d'un -evn E est un compact si et seulement si E est de dimension finie (Théorème de Riesz)

[maxevans]

En Mp, on ne fait pas les metriques!!!

[Gwyddon]

Ben j'ai un cours de topo générale alors... Je sais que la topo générale n'est pas au programme, mais les métriques il me semblait que si

EDIT : d'ailleurs l'exercice proposé dans ce fil est dans le Gourdon d'Analyse

[manitou]

Ni la topo ni les métriques ne sont au programme julien mais bon nous on le fait quand même.
Disons que les résultats qu'on démontre de manière générale sont censés être vu dans le cours sur les evn et donc restreint à leur applications à ce cas précis.
Comme nous avons tous les deux fait topo générale puis espace métriques (rapidemment car topo générale avant) les evn sont traités à toutes vitesse car c'est l'application des deux chapitres précédent.

Mais dans une classe normale ce n'est pas (et celà ne doit pas être) vu.

[martini_bird]

Bonjour,

plutôt que de discuter du programme, je vous invite cordialement à réfléchir à l'exercice et notamment à des contre-exemples, comme suggéré par doryphore.

Bien à vous.

[Gwyddon]

Ni la topo ni les métriques ne sont au programme julien mais bon nous on le fait quand même.
Disons que les résultats qu'on démontre de manière générale sont censés être vu dans le cours sur les evn et donc restreint à leur applications à ce cas précis.
Comme nous avons tous les deux fait topo générale puis espace métriques (rapidemment car topo générale avant) les evn sont traités à toutes vitesse car c'est l'application des deux chapitres précédent.

Mais dans une classe normale ce n'est pas (et celà ne doit pas être) vu.

Ok je n'avais pas vu les choses ainsi merci.
Pour en revenir à ce que tu dis martini : si on prend un espace E muni de la distance discrète (ie d(x,y)=0 si , d(x,y)=1 si x=y), on a donc son adhérence est B(x,1) elle-même ; par contre tout entier : il y a manifestement une petite différence

[martini_bird]

si on prend un espace E muni de la distance discrète (ie d(x,y)=0 si , d(x,y)=1 si x=y),

Je crois bon de rappeler la définition d'une distance:

Un espace métrique est un ensemble X sur lequel est défini une fonction distance d possédant les propriétés suivantes:

a)
b) d(x,y)=0 si et seulement si x=y
c) d(x,y)=d(y,x) pour tout x et y dans X
d) pour tout x, y, z dans X

Ceci dit je vois, Julien, que tu fais référence à la topologie discrète. Mais qui te dit que cette topologie est métrisable (i.e. qu'il existe une distance qui la définit)?

Cordialement.

[matthias]

C'est juste que Julien a fait une inversion.
d(x;y)= 0 si x=y, d(x;y) = 1 sinon.
C'est bien une distance.

[martini_bird]

C'est juste que Julien a fait une inversion.
d(x;y)= 0 si x=y, d(x;y) = 1 sinon.
C'est bien une distance.

Arf, oui bien sûr.

Enfin, vous avez la définition d'une distance comme ça.

[Gwyddon]

pom pom pom...

Oui j'ai fauté (il n'y a pas de smiley avec un marteau qui tape sur notre tête, c'est bien dommage il s'apppliquait à mon cas)

Merci pour la correction