[Maths] [TS] Équations différentielles et modèles d'évolution

[doryphore]

D'après J._P. Bertrandias, Mathématiques pour les Sciences de la vie, Grenoble, Editions PUG, 1977.

Si l'on considère qu'un organisme est une population de cellules, le développement doit tenir compte de l'intéraction mutuelle des cellules - ce que les spécialistes nomment les relations d'allométrie. Nous envisageons ci-dessous deux modèles d'évolution du poids P de cet organisme.

1) Modèle de von Bertalanffy (1938)

On note respectivement T(t), S(t) et P(t) la taille, la surface et le poids à l'instant t.
On admet qu'il existe un réel a>0 tel que S = aT² et .

Le modèle suppose que l'accroissement du poids est proportionnel à la surface S et qu'il y a un freinage proportionnel au poids:

P' = bS - cP, avec b>0 et c>0.

a) Montrer que T vérifie:



b) Exprimer alors T(t) en fonction de t,b et c.

c) En déduire que le poids P évolue vers un poids maximum , et que l'on a :

.

d) Montrer que la surface S évolue vers un maximum , et que l'on a:
.

Suivra ensuite le modèle de F.J. Richard (1959)

Question aux biologistes: À quoi est dû le freinage ?
-----

[invite4b9cdbca]

Bon alors pour la première question :

P' = bS - cP

or, P = aT³ d'où P' = 3aT'²

Ainsi 3aT'² = baT² - caT³

D'où 3T' = b - cT

Donc

[invite4b9cdbca]

Pour la seconde question, je pose T0 la taille initiale du système.

On a pécédemment démontré que la taille vérifiait l'équa diff :



Ainsi la solution est :



ceci est un résultat démontré en cours... Est ce que je dois refaire la démo ?

[matthias]

Bon alors pour la première question :

P' = bS - cP

or, P = aT³ d'où P' = 3aT'²

Non, je ne crois pas.

Ainsi 3aT'² = baT² - caT³

D'où 3T' = b - cT

????

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Non, je ne crois pas. (...)
????

Desolé des gros problèmes de raisonnements ^^ avec cette dérivée de composée qui m'embete... Je corrige sur le champs.

[matthias]

J'imagine que ce ne sont pas les mêmes constantes a et b que précédemment. Tu devrais en introduire d'autres.

[invite4b9cdbca]

J'ai du mettre un T' là où c'est un T, non ?

On aurait : P = aT3 d'où P' = 3aT²

d'où 3aT² = baT² - caT3 et on en vient ainsi à la formule à démontrer...

[invite4b9cdbca]

J'imagine que ce ne sont pas les mêmes constantes a et b que précédemment. Tu devrais en introduire d'autres.

argh... J'en ai marre j'arrive à rien...

T' = b/3 - cT/3

On pose b/3 = B et -c/3 = A

De là on obtiendrait :



d'où


Ainsi


C'est bien ça ?

[matthias]

J'ai du mettre un T' là où c'est un T, non ?
On aurait : P = aT3 d'où P' = 3aT²

T n'est pas la variable t, c'est une fonction de t.
Tu dois donc dériver foT par f où f: x - > x³
(foT)'=T'.f'oT donc (T³)' = 3.T'.T²
ou bien tu peux utiliser la dérivée d'une fonction à la puissance n, dont on peut démontrer la formule par récurrence à partir de (fg)' = f'g+g'f

[matthias]

argh... J'en ai marre j'arrive à rien...

T' = b/3 - cT/3

On pose b/3 = B et -c/3 = A

De là on obtiendrait :



d'où


Ainsi


C'est bien ça ?

Oui ça a l'air bon. Je ne sais pas si c'est utile de garder T₀ -b/c. Tu pourrais le remplacer par une constante unique.

[invite4b9cdbca]

Oui tu as raison, faut vraiment que je revoies ça... Jme disais aussi qu'avec 3aT² ça marchait pas...

[invite4b9cdbca]

Bon voilà la première question correctement rédigée :

P' = bS - cP

or, P = aT³ d'où P' = 3a.T².T'

Ainsi 3aT².T' = baT² - caT³

D'où 3T' = b - cT

Donc

Voilà je vous envoe la suite prochainement.

Kron

[invite4b9cdbca]

Je ne sais pas si c'est utile de garder T₀ -b/c. Tu pourrais le remplacer par une constante unique.

Je ne vois pas par quoi on pourrait remplacer T₀ - b/c... Dois-je poser une nouvelle constante k telle que k = T₀ - b/c ou alors on peut remplacer ça par quelquechose faisant partie de l'énoncé ?

[BioBen]

Je ne vois pas par quoi on pourrait remplacer T0 - b/c... Dois-je poser une nouvelle constante k telle que k = T0 - b/c ou alors on peut remplacer ça par quelquechose faisant partie de l'énoncé ?

J'ai pas tout lu avec attention mais oui c'est parfois plus simple de pas trainer avec plein de constantes, tu les remplaces par une constante unique, ou même dans ce cas là comme c'est devant une exponentielle tu peux tout regrouper pour obtenir :

[invite4b9cdbca]

Comment je vais pouvoir arriver à un tel résultat ???

[BioBen]

[matthias]

Oui, mais alors il faut rajouter un cas pour T0 -b/c négatif.
Ou alors utiliser les complexes, mais c'est peut-être pas la peine

Tu peux rester avec T0 -b/c Kron, si tu ne veux pas faire plusieurs cas.

[BioBen]

Oui, mais alors il faut rajouter un cas pour T0 -b/c négatif.

Oui, mais je disais ca parce que je croyais que c'est la forme que tu voulais(ren mettant la constante sous forme expo), enfin bon...

[matthias]

Oui, mais je disais ca parce que je croyais que c'est la forme que tu voulais(ren mettant la constante sous forme expo), enfin bon...

Tu as raison, j'avais parlé un peu vite.

[invitefb5ac34d]

Pour la première question :
P'=bS-cP=abT²-acT^3
mais aussi P= a T^3 donc P'=3aT'T²
on a donc 3T'T²=bT²-cT^3
soit T'=(b-cT)/3

[invitefb5ac34d]

questionb:
fonction de la forme : T(t)=ke^(-c/3)t +b/c
Si T(0)=T0 alors T0=k+b/c donc k=T0-b/c
donc T(t)=(T0-b/c)e^(-ct/3) +b/c

[invitefb5ac34d]

P=aT³ donc lim P qd t->+oo = a*(b/c)³ puisque la limite de exp(-x) qd xtend vers l'infini est nulle
donc Pm=a*(b/c)³ donc b/c=(Pm/a)^1/3

de plus T³ =P/a donc T= (P/a)^1/3

et P'=bS-cP=bPT-cP
=cP(bT/c-1)
=cP((Pm/P)^1/3 -1)

[invitefb5ac34d]

On obtient de la même manière Sm=a(b/c)² et on a S=aT² donc Sm/(b/c)²=S/T² soit Sm/S=(b/cT)²
et S'=2aT'T
=2a*(b-cT)/3*T
=2aT*(b-cT)/3
=2/3 (abT-acT²)
=2/3(cSb/cT-cS)
=2cS/3*(b/cT-1)
=2cS/3*((Sm/S)^1/2 -1)


et pour ce qui est du freinage du poids.. je dirais qu'il y a soit un mnque de place pour le développement de la colonie, soit un manque de nourriture ...

[doryphore]

donc Pm=a*(b/c)³

Comment peux-tu être sûr que c'est un maximum ?

[matthias]

et P'=bS-cP=bPT-cP

c'est P=ST et non S=PT