Equations différentielles

[Garf]

Bonjour,

Dans le cadre de quelques modélisations "maison" de dynamique des populations (rien d'autre à faire pendant les vacances ), j'ai besoin de résoudre quelques équations différentielles, malheureusement un peu carabinées.

Je part sur un modèle de propagation d'épidémie tout bête (V la "virulence" du microbe, P la population totale pouvant être infectée, f(t) la population infectée à l'instant t - comprise entre 0 et P exclus, bien entendu) :
f'(t)=V.f(t).(P-f(t)).
Jusque là, pas de problème, je sais faire.
Puis je me dis qu'on n'est pas malade indéfiniment, et qu'on ne retombe pas malade immédiatement après être soigné. Je considère donc (a la durée pendant laquelle on peut contaminer un autre individu) :
f'(t)=V.(f(t)-f(t-a)).(P-f(t)).
Je cherche en particulier s'il peut y avoir ou non en l'infini une limite autre que P...
Catastrophe. Pour le coup, je me retrouve démuni.

Quelqu'un a-t-il une méthode pour résoudre des équations différentielles de ce genre ? Un cours portant dessus ? Merci d'avance !
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[cedbont]

Bonjour,
cette équation différentielle n'est pas linéaire et par conséquent, je ne pense pas qu'il y ait de solution analytique.

[Garf]

Merci Cedbont.

Cette équation-ci :
f'(t)=V.f(t).(P-f(t)).
n'est pas linéaire, et admet pourtant des solutions sur lR, notamment :

(toutes les solutions sur lR ne sont pas de cette forme, mais toutes les solutions "intéressantes" - répondant à mon problème - le sont).


Revenons à l'équation f'(t)=V.(f(t)-f(t-a)).(P-f(t)).
Même si je n'ai pas de méthode de résolution (dommage), puis-je cependant avoir une réponse à deux questions :
1) Quelles conditions sont nécessaires pour caractériser une solution (j'ai l'impression que la valeur de f en 0 ne suffit plus) ?
2) si je ne considère que les fonctions f comprises entre 0 et P exclus : celles-ci peuvent-elles avoir une limite autre que P en l'infini ? Si oui, puis-je connaître cette limite en fonction des conditions portant sur f (cf. question 1) ) et des données du problème (P, V, etc.) ?

[cedbont]

Pour la première question, est solution une fonction qui vérifie l'ED. Pour être plus sérieux, je ne comprends pas très bien la question.
Pour, la deuxième question, si f est déterminée par la solution proposée, il apparaît immédiat que la limite de f en +00 est P.
Mais, ne te serais-tu pas trompé dans l'ED ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Je pose, pour simplifier :
(E1) f'(t)=V.f(t).(P-f(t))
(E2) f'(t)=V.(f(t)-f(t-a)).(P-f(t))

Pour la première question, est solution une fonction qui vérifie l'ED. Pour être plus sérieux, je ne comprends pas très bien la question.

A priori, plein de fonctions vérifient cette équa diff. Maintenant, quelles conditions dois-je imposer pour en "sélectionner" une ?
Pour l'équation (E1), la valeur de la fonction en 0 suffit.
Mais pour l'équation (E2), de quoi ai-je besoin ? La valeur en 0 suffit-elle ou me faut-il toutes les valeurs de f sur un intervalle (]-a,0[ par exemple) ?

Pour, la deuxième question, si f est déterminée par la solution proposée, il apparaît immédiat que la limite de f en +00 est P.

Ben, ce que j'ai mis dans mon post précédent est une solution de (E1). Cette équation, pas de problème, je l'ai résolue. La, je me pose la question pour les solutions de (E2), et il ne me semble douteux que la fonction tende vers P en l'infini (contre-exemple trivial : a=0, f(0)=P/2).

Mais, ne te serais-tu pas trompé dans l'ED ?

C'est-à-dire ?

[invite3e339dff]

Merci Cedbont.

Cette équation-ci :
f'(t)=V.f(t).(P-f(t)).
n'est pas linéaire, et admet pourtant des solutions sur lR, notamment :

(toutes les solutions sur lR ne sont pas de cette forme, mais toutes les solutions "intéressantes" - répondant à mon problème - le sont).

Revenons à l'équation f'(t)=V.(f(t)-f(t-a)).(P-f(t)).
Même si je n'ai pas de méthode de résolution (dommage), puis-je cependant avoir une réponse à deux questions :
1) Quelles conditions sont nécessaires pour caractériser une solution (j'ai l'impression que la valeur de f en 0 ne suffit plus) ?
2) si je ne considère que les fonctions f comprises entre 0 et P exclus : celles-ci peuvent-elles avoir une limite autre que P en l'infini ? Si oui, puis-je connaître cette limite en fonction des conditions portant sur f (cf. question 1) ) et des données du problème (P, V, etc.) ?

Le théorème phare des équadiffs(Cauchy-Lipschitz) ne s'applique visiblement pas à ce problème à cause du t-a donc je ne peux qu'au mieux que commenter à la main.

La valeur en un seul point ne suffit évidemment pas, puisqu'elle ne permet pas d'obtenir la valeur de la dérivée en ce point(il faut aussi avoir la valeur translatée de -a). A mon avis une condition nécessaire d'unicité sont d'avoir la valeur de f sur un ensemble dense dans un intervalle (ouvert ou fermé )de taille a, de sorte qu'on puisse avoir les valeurs sur tout l'intervalle par continuité et donc déterminer les valeurs de la dérivée. On doit ensuite pouvoir construire une solution approchée qui converge vers la solution exacte par une méthode similaire à celle de Picard, ce qui prouverait l'existence et l'unicité des solutions.

Pour la deuxième question, la fonction f peut très bien être décroissante, ce qui a l'air d'être un facheux obstacle à une limite valant P en l'infini. A mon avis tout un tas de limites est possible, il faudrait essayer avec un algorithme numérique(partant d'un intervalle de valeurs, on doit pouvoir implémenter la méthode d'Euler sans trop de difficultés)

Je vois pas trop quoi dire de plus...

[invite665a0d0b]

Bonsoir garf
Vous pouvez consulter l'ouvrage de JD Murray "Mathematical Biology" chez Springer, si j'ai bonne mémoire, le tome 1 comporte dans la partie consacrée à la dynamique des populations une introduction à l'étude des modèles différentiels avec un facteur de retard sur la variable temps.
Un chapitre est consacré aux modèles relatifs à la dynamique des épidémies (modèles de type SIR) à consulter de toute urgence si vous ne l'avez déjà fait...
Cordialement
rls

[cedbont]

Je parlais d'un problème dans la modélisation.