équations différentielles

[invite72ab54f9]

bonjour
on me demande de résoudre les équations différentielles suivantes :
*x'= -(2k1x²+k2b2x) avec x=a pour t=0
*y"-3y'+2y=4exp(2t)
*(dy/dx)/sin(x)-ycosx+cos²x=0 avec pour x= pi/2 ; y= -Pi/2

Alors pour la 1ere c'est une équation différentielle du 1er ordre mais le probléme c'est qu'elle est de la forme x'+0x= polynome Pour la 2eme c'est une équation différentielle du 2nd ordre mais la encore = 4exp(2t), donc pas a une constante
quand a la derniére c'estune équation différentielle d 1er ordre égal a cos²(x).

Pouvez vous m'indiquer comment résoudre ce type d'équations différentielles et notamment comment trouver la solution particuliére car moi je ne sait le faire pour l'instant que pour des coefficients constant.
merci d'avance
au revoir
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[invite72ab54f9]

pas d'idées?

[deep_turtle]

Pour la première le plus simple à mon goût est d'écrire


Tu cherches à intégrer le terme de droite. Plusieurs cas peuvent se présenter, la manière générale, pour un polynôme général au dénominateur, de faire est de décomposer l'inverse de ce polynome en éléments simples, c'est-à-dire en une somme de termes de la forme

et
Cette décomposition est toujours possible, et en plus normalement tu connais les primitives de ces fonctions !

[deep_turtle]

Pour la deuxième, les matheux te disent que la solution générale est donnée par la solution de l'équation homogène (sans second membre) et d'une solution particulière de l'équation totale. Il te reste à trouver une solution particulière, et là c'est du cas par cas avec un peu de flair...

Dans le cas précis que tu proposes, tu peux chercher une solution particulière sous la forme

C'est assez évident que ça va marcher, vu que les dérivées première et seconde de cette fonction on la même tête que ce que tu cherches.

[A voir en vidéo sur Futura]

[deep_turtle]

Pour la dernière, si en effet tu poses , tu peux la réécrire comme une équation différentielle sur y en fonction de u, qui sera particulèrement simple puisque elle te donnera la dérivée de y en fonction de u, il n'y aura qu'à intégrer !