[Maths] [1èreS] Centre de gravité d'un tétraèdre

martini_bird · 15/03/2006 - 16h01

Soit ABCD un tétraèdre, I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [BC], [CD], [DB], [AB], [AC], [AD] et G₁, G₂, G₃, G₄ les centres de gravité des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.

Première partie

L'objet de cette partie est de démontrer que les droites (AG₁), (BG₂), (CG₃) et (DG₄) sont concourantes.

1. Démontrer que l'intersection des plans contenant A et chacune des médianes du triangle BCD est la droite (AG₁).

2. Montrer que les droites (AG₁) et (BG₂) sont sécantes en un point P.

3. Montrer que $\vec{G_1G_2}=-\frac{1}{3}\vec {AB}$ . En déduire l'expression de $\vec{G_1A}$ en fonction de $\vec{G_1P}$ .

4. Démontrer que les droites (AG₁) et (CG₃) sont sécantes en un point Q puis démontrer que P et Q sont confondus.

5. En déduire que dans le tétraèdre ABCD, les quatre droites joignant un sommet avec le centre de gravité de la face opposée à ce sommet sont concourantes en P.

Seconde partie

On démontre dans cette partie (moins guidée) que les droites (IN), (JL) et (MK) sont concourantes en P.

1. Etablir la relation $\vec{PA}+\vec{PB}+2\vec{PJ}= \vec{0}$ .

2. Démontrer que P est le mileu du segment [JL].

3. Conclure.

Troisième partie

Cette dernière partie montre que P n'est autre que le centre de gravité (isobarycentre) du tétraèdre.

Soit G l'isobarycentre de ABCD, i.e. le point tel que
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+ \vec{GD}=\vec{0}.$

1. Démontrer que les points A, G, G₁ sont alignés (on pourra montrer que $\vec{GA}+3\vec{GG_1}=\vec{0}$ ).

2. Prouver que G=P.

kNz · 16/03/2006 - 19h44

Envoyé par martini_bird

1. Démontrer que l'intersection des plans contenant A et chacune des médianes du triangle BCD est la droite (AG₁).

Je crois comprendre ce qui est demandé mais je ne comprend pas tout à fait la question

Envoyé par martini_bird

3. Montrer que $\vec{G_1G_2}=-\frac{1}{3}\vec {AB}$ . En déduire l'expression de $\vec{GA}$ en fonction de $\vec{GP}$ .

Ce ne serait pas plutôt :
$\vec{G_1A}$
$\vec{G_1P}$

J'ai commencé l'exo, je ne l'ai pas fini, je posterais sûrement ce week end.

Cordialement.

martini_bird · 16/03/2006 - 19h58

Envoyé par kNz

Je crois comprendre ce qui est demandé mais je ne comprend pas tout à fait la question

Il y a trois plans P₁, P₂ et P₃ qui contiennent tous le point A mais chacun une des médianes du triangle BCD (par exemple P₁ contient A et le médiane issue de B, P₂ contient A et la médiane issue de C, etc.). Il faut prouver que ces trois plans se coupent selon la droite (AG₁).

Ce ne serait pas plutôt :
$\vec{G_1A}$
$\vec{G_1P}$

Oui merci : je corrige de ce pas.

Cordialement.