[Maths] [TS] Nombres complexes

doryphore · 23/06/2006 - 17h43

Soit a et b deux nombres complexes distincts, les points A et B sont des points respectivement d'affixes a et b.

Pour $z \neq b$ , on désigne par M(z) le point du plan complexe d'affixe z.

1) Pour $z \neq b$ , on pose $z'=f(z)=\frac {z-a}{z-b}$ .

a) Montrer que $|z'|=\frac {MA}{MB}$ et que, pour $z \neq a$ :

$arg \ z' = (\vec {MB}, \vec {MA}) \ [2 \pi]$

b) Prouver que l'ensemble des points M(z) tels que:

(i) |z'| = 1, est la médiatrice du segment [AB],

(ii) z' soit réel, est la droite (AB) privée du point B;

(iii) z' soit imaginaire pur, est le cercle de diamètre [AB] privé de B.

kNz · 24/06/2006 - 15h03

Salut,

merci doryphore pour cet exo, malheuresement ...

Pour la 1), $|z'|=\frac{|z-a|}{|z-b|}$

Je pensais que si on posait $z=x_m+iy_m$ ; $a=x_a+iy_a$ ; $b=x_b+iy_b$ et qu'on remplaçait tout dans l'expression précédente on aboutissait à $\frac{\sqr{(x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2}}{\sqr{(x_m-x_b)^2+(y_m-y_b)^2}}$ mais bien évidemment avec les i je n'y arrive pas.

Je vais chercher..

Merci, cordialement.

**benjy_star** · 24/06/2006 - 23h42

Envoyé par kNz

Je pensais que si on posait $z=x_m+iy_m$ ; $a=x_a+iy_a$ ; $b=x_b+iy_b$ et qu'on remplaçait tout dans l'expression précédente on aboutissait à $\frac{\sqr{(x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2}}{\sqr{(x_m-x_b)^2+(y_m-y_b)^2}}$ mais bien évidemment avec les i je n'y arrive pas.

Et bien tout est là ! Comment exprimes-tu la longueur MA en fonction de A(x_A ; y_A) et M(x_M ; y_M) ??? Tu as presque fini !!

doryphore · 25/06/2006 - 10h39

Je ne vais pas te décourager dans la voie que tu as choisie pour résoudre cet exercice et pour laquelle Benjy t'encourage car c'est un travail intéressant, mais à mon avis en prenant un peu plus de recul tu pourrais répondre à cette question de manière moins calculatoire et beaucoup plus efficace.

a) Que représente z-a pour le vecteur $\vec {AM}$ ?

b) Que représente le module de l'affixe d'un vecteur ?

c) Conclure.

Le point de vue géométrique est très important quand on travaille sur les nombres complexes.

kNz · 25/06/2006 - 21h19

Envoyé par benjy_star

Et bien tout est là ! Comment exprimes-tu la longueur MA en fonction de A(x_A ; y_A) et M(x_M ; y_M) ??? Tu as presque fini !!

Oui benjy

mais malheuresement je n'y arrive pas à cette expression !! Sinon j'aurais conclu

Pour la méthode de doryphore qui a l'air bien plus rapide :

a) $z-a$ représente l'affixe de $\vec{AM}$

b) Le module de l'affixe du vecteur $\vec{AM}$ représente la distance $AM:AM=|z-a|$

c) $|z'|=\frac{|z-a|}{|z-b|}=\frac{MA}{MB}$

PS : si c'est faux, trop direct ou si la rédaction est mauvaise, n'hésitez pas à corriger, je m'absente de FS 3-4 jours (oral français oblige)

Merci beaucoup

doryphore · 26/06/2006 - 10h04

Pour le b), il vaut mieux préciser de manière intermédiaire que le module de l'affixe du vecteur est la norme duvecteur (enfin, ça dépend du correcteur).

Pour le c), ça peut paraïtre évident, mais il vaut mieux préciser pour quelle valeur de z on peut définir |z'|.

A plus.

kNz · 26/06/2006 - 11h13

Envoyé par doryphore

Pour le b), il vaut mieux préciser de manière intermédiaire que le module de l'affixe du vecteur est la norme du vecteur (enfin, ça dépend du correcteur).

Ok merci

Pour le c), ça peut paraïtre évident, mais il vaut mieux préciser pour quelle valeur de z on peut définir |z'|.

A plus.

Arf, c'est le genre de choses que j'oublie souvent

C'est bien pour $z\neq b$ .

Comme FS passe avant mes révisions pour l'oral de français je posterais sûrement la suite bientôt

Seeya.

doryphore · 26/06/2006 - 21h57

Envoyé par kNz

Comme FS passe avant mes révisions pour l'oral de français je posterais sûrement la suite bientôt

Mouaif, je ne sais pas si c'est raisonnable.

D'ailleurs "posterais" s'écrit sans "s" à la fin car c'est du futur simple, c'est au conditionnel présent qu'on met un "s".

kNz · 26/06/2006 - 22h00

Envoyé par doryphore

Mouaif, je ne sais pas si c'est raisonnable.

D'ailleurs "posterais" s'écrit sans "s" à la fin car c'est du futur simple, c'est au conditionnel présent qu'on met un "s".

D'accord alors demain je viens pas sur FS, ça va être dur

kNz · 30/06/2006 - 20h29

Salut,

Tout d'abord, je me suis relu, et j'ai constater qu'on pouvait interpréter une certaine moquerie dans mon deuxième post, ça n'était pas du tout mon intention et je tiens à m'excuser auprès de benjy

Mouaif, je ne sais pas si c'est raisonnable.

Non pas vraiment

D'ailleurs "posterais" s'écrit sans "s" à la fin car c'est du futur simple, c'est au conditionnel présent qu'on met un "s".

Oui mais à l'oral ça passe

D'ailleurs en passant j'ai bien réussi mon exam

Pour l'exo, je n'ai pas trouvé pour l'argument, en fait je me perds un peu dans les nombres complexes

Pour la 2), la première ça va :

$|z'|=1$ ssi $\frac{MA}{MB}=1$ ssi $MA=MB$ $\rightarrow$ $M(z)$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ .

Ensuite je comprends pas,

Si $z'$ est réel, il appartient à (O; $\vec{e_1}$ ) non ?
Si $z'$ est imaginaire pur, il appartient à (O; $\vec{e_2}$ )

Merci d'avance de m'éclairer

Cordialement.

doryphore · 05/11/2006 - 07h34

Je rappel que c'est le leieu des points d'affixes z et non z' que l'on cherche.

2detens · 21/01/2009 - 20h17

Je remonte le topic, désolé
Je réponds aux questions auxquelles personnes n'a apporté de réponse, pour voir si ma démarche est bonne

b)ii) $arg (z') = (\vec {MA}, \vec {MB})$
Or z' réel donc arg (z') =0 [ $\Pi$ ]
$\vec {MB}$ et $\vec {MA}$ sont donc colinéaires, les points M, A et B sont donc alignés, M se situe donc sur la droite (AB) privée de B (Z_M différent de b)

b)iii) De meme, z' imaginaire pur <=> $\vec {MB}$ et $\vec {MA}$ sont orthogonaux. MAB forme donc un triangle rectangle, or un triangle rectangle admet son hypoténuse comme diamètre de son cercle circonscrit, l'ensemble des points M est donc le cercle de diamètre AB

Merci de me signaler si ma démarche est trop peu précise/incomplète voir tout simplement fausse =)