Sens de variation du produit

[caily]

Bonjours à tous !
Je fais appele a vous pour un petit doute en math...:

# Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x
Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g

Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
6x² est une fonction carée, elle est donc décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[


# soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

Reponse : Soit tous les x € p, € I
x € q, € I
On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
q >(ou égal) 0 car q est croissante
Puis p*q >(ou égal) 0
Donc p*q est croissante sur I.

On ne peut pas en général prévoir le sens de variation du produit de deux fonctions. CEpendant on va traiter cette question dans un cas particulier.

#On considère deux fonctions u et v définies et croissantes sur un intervalle I telles que, pour tout x de l'intervalle I, on a u(x) > 0 et v(x) > 0

Soit a et b deux réels de I.
Verifier que u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]

Reponse :
u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]
u(a) * v(a) - u(b) * v(b)= u(a) * v(a) - u(a) * v(b) + v(b) * u(a) - v(b) *v(b)
u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * v(a) - u(b) * v(b)


En deduire le sens de variation de la fonction u* v sur I.
u > 0
v >0
donc u*v > 0
Donc u fois v est croissante sur [0 ; +oo [


Enoncer la règle obtenue. Utiliser cette règle pour retrouver le sens de variation sur [0 ; +oo[ de la fonction h définie à la question 1.

Par contre là je sèche...
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[Duke Alchemist]

...
# Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x
Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g

Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
6x² est une fonction carée, elle est donc décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[

Jusque là OK.

# soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

Reponse : Soit tous les x € p, € I
x € q, € I
On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
q >(ou égal) 0 car q est croissante
Puis p*q >(ou égal) 0
Donc p*q est croissante sur I.

Tu te contredis !!... Le premier # te donne justement un contre-exemple
Rien ne te dit ici que les fonctions sont positives !
Et positive ne signifie pas croissante

Et en plus, après, il est écrit :

On ne peut pas en général prévoir le sens de variation du produit de deux fonctions. CEpendant on va traiter cette question dans un cas particulier.

#On considère deux fonctions u et v définies et croissantes sur un intervalle I telles que, pour tout x de l'intervalle I, on a u(x) > 0 et v(x) > 0

Soit a et b deux réels de I.
Verifier que u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]

Reponse :
u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]
u(a) * v(a) - u(b) * v(b)= u(a) * v(a) - u(a) * v(b) + v(b) * u(a) - v(b) *v(b)
u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * v(a) - u(b) * v(b)

Je l'aurais écrit dans l'autre sens mais une égalité se montre bien dans les deux sens

En deduire le sens de variation de la fonction u* v sur I.
u > 0
v >0
donc u*v > 0
Donc u fois v est croissante sur [0 ; +oo [

Encore une fois, tu confonds positive et croissante !
On te demande de déduire le résultat de ce qui précède donc... aide-toi de ce qui précède !

Modifie déjà le raisonnement pour ces questions et la dernière devrait être alors faisable.

Duke.