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Problème impliquant les dérivées, les limites..

  1. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
    Messages
    70

    Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Alors, voici un problème, dans l'ensemble assez facile sauf les questions de la fin, je doute de mes réponses, j'aimerais donc une vérification mais aussi des conseils pour améliorer ma rédaction et ma rigueur . (Vous pouvez sauter toute la partie une et aller directement à la partie deux, bien que je pense que la partie une soit nécessaire pour comprendre la deuxième).

    Le dit problème:

    Partie I: L'étude de fonction:

    Dans cette partie, nous nous proposons d'étudier la fonction F définie sur I = ]0 ; +∞[ par f : x -> x - 20 + (400/x)

    Soit f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (o; ; ) (unité 1cm sur chaque axe).

    1°) Déterminez les limites aux bornes de I.

    Calculons la limite de f ( x ) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives:

    Grâce au formules de la somme des limites, on a:
    lim f ( x ) = + ∞
    x -> 0
    x > 0

    car:
    lim x = 0+
    x -> 0
    x > 0

    lim 20 = 20

    lim 400/x = +∞
    x -> 0
    x > 0


    Lorque x tend vers l'infini:

    On a
    f ( x ) = x - 20 + (400/x)
    = (x² - 20x + 400) / ( x )

    Calculer la limite de f ( x ) lorsque x tend vers l'infini revient à déterminer la limite des termes de plus haut degré, donc:

    lim f ( x ) = lim x² / x = lim x = +∞
    x -> +∞ x -> ∞ x-> +∞


    2) Calculez f ' ( x ) pour tout x appartenant à I : dressez le tableau de variations de f.

    f ( x ) = (x² - 20x + 400) / ( x )
    f ' = [(u'v) - (uv')] / (v²)

    avec: u = x² - 20x +400
    u' = 2x -20

    et: v = x, v ' = 1

    f ' = [(2x-20)*(x) - (x² - 20x + 400)] / (x²)
    = (x² - 400) / (x²)
    = (x² - 20²) / (x²)
    je reconnais l'identité remarquable a² - b² au numérateur.
    f' = [(x - 20)(x+20)] / x²


    ]0 ; 20[, f ' ( x ) < 0
    ]20; +∞[; f ' ( x ) > 0

    (ici je fais mon tableau avec le signe de f' et les variations de f je ne le montre pas, c'est bon je sais les faire, ;] ) .

    3) Démontrez que y = x - 20 est asymptote à Cf .

    Démontrer que y = x - 20 est asymptote à Cf revient à démontrer que:

    lim (f ( x ) - ( x -20 ) ) = 0
    x -> ∞


    Ainsi:
    lim 400/x = 0+
    x -> +∞

    A cet effet, y = x - 20 est bien asymptote oblique à Cf.

    Notez que nous avons calculé cette limite avec x qui tend vers +∞ car l'intervalle I dans lequel f ( x ) est comprise ne permet pas à x de tendre vers -∞.

    4) Donnez une équation de l'AUTRE asmptote à Cf.

    Grâce à la question un, lorsque nous avions calculer la limite de f ( x ) lorsque x tendait vers 0, nous sommes en mesure de dire qu'une équation de l'autre asymptote à Cf est :
    x = 0 et c'est une asymptote verticale.

    Car, d'après les propriétés, si la limite de n'importe quelle fonction, lorsque x tend vers un réel a, est égale à ∞, alors la droite d'asymptote x = a est asymptote verticale à la courbe de cette fonction.

    5) Calculer les oordonées des points d'abcisses 5, 10, 20, 40, 50, 80, 100, 160. On donnera les résultats sous forme de tableau:

    (C'est bon je ne le fais pas non plus, c'est facile)

    6) Déterminer une équation de la tangeante à Cf en A d'abcisse 20, puis au point B d'abcisse 40, préciser la position relative de Cf par rapport à ces deux tangeantes.

    A(20;20) et B(40;30) (cf question précédente ;] )

    Je calcule l'équation de la tangeante à Cf en A.

    y = f ' ( a ) ( x - a ) + ( a )
    y = f ' ( 20 ) ( x - 20 ) + f ( 20 )

    f ' ( 20 ) = 0

    y = 0 + 20
    y = 20

    Je calcule l'équation de la tangeante à Cf en B(40;30).

    y = f ' ( a ) ( x - a ) + ( a )
    y = f ' ( 40 ) ( x - 40 ) + f ( 40 )

    f ' ( 40 ) = 1200/40² = 1200 / 1600 = 12/16 = 3/4

    y = (3/4)(x-40) + 30
    y = (3/4)x - 120/4 + 30
    y = (3/4)x



    Je détermine maintenant la position relative de la courbe Cf par rapport à ces asymptotes.

    Par rapport à y = 20, je pose:

    f ( x ) = y
    x - 20 + (400/x) = 20
    x - 20 + (400/x) - 20 = 0
    x + (400/x) = 0
    (x² + 400) / x = 0
    x² + 400 = 0
    x + 20 = 0
    x = -20

    Donc pour y, f ( x ) > y

    Par rapport à y = (3/4)x

    x - 20 + (400/x) = (3/4)x
    x-20+(400/x) - (3/4)x = 0
    (x² - 20x + 400 - (3/4)x)/x = 0
    ((4x²/4) - 20x + 400 - (3/4)x) / x = 0
    (x²/4 - 20x + 400)/x = 0
    ((x² - 80x + 1600)/4)/x = 0
    ((x-40)²)/4 * 1/x = 0 avec x 0

    ((x-40)²)/4 = 0
    (x-40)² = 0
    (x - 40) * ( x - 40) = 0
    x - 40 = 0
    x = 40

    Ainsi, f est au - dessus de y .

    7) Tracer Cf,

    c'est bon, c'est facile. ;]


    PARTIE 2:


    C'est là que j'ai du mal


    Une entreprise fabrique pendant un intervalle de temps donné une quantité x d'objet (x > 0 ), les charge de cette entreprise pour fabriquer les x objets sont donnés en euros par :
    C( x ) = x² - 20x + 400


    1) Les charges moyennes unitaires, notées Cm(x) sont définies par Cm(x) = (C(x))/x . Déterminer la quantité d'objet à fabriquer pour avoir les charges moyennes unitaires minimales.

    J'ai mis: Pour que Cm(x) le plus petit possible, il faut fabriquer une infinité d'objets !

    2) Chaque objet fabriqué est vendu 100€, déterminer le bénéfice B(x) de cette entreprise en fonction de x en supposant que les x objets sont vendus. Déterminer x pour que ce bénéfixe soit maximal .

    J'ai mis: Pour que B(x) soit maximal, il faut que:
    B(x) > C(x)
    B(x) - C(x) > 0



    Voilà, donc j'ai un gros problème, à mon avis, pour la dernière partie, je n'ai aucun calculs, que du "blabla", si je puis dire, donc merci de me donner un petit coup de pouce !



    PS: je m'excuse aussi de la longueur, bien que toute la partie une soit extrêmement facile.


     


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  2. anonymus

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Paris
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    II)
    1) Ouais effectivement que du blabla
    Regarde ta fonction Cm(x)
    Cm(x) = C(x) / x
    Si x->+infini
    Cm(x) = ?
    A ton avis c'est minimal ?

    2)
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.
     

  3. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
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    70

    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    II)
    1) Ouais effectivement que du blabla
    Regarde ta fonction Cm(x)
    Cm(x) = C(x) / x
    Si x->+infini
    Cm(x) = ?
    A ton avis c'est minimal ?

    2)
    Ah non fichtre alors ! Il y a des x au numérateur aussi, je n'avais pas vu ! bah pour que Cm ( x ) soit minimale il faut fabriquer 20 objets, car dans la partie d'avant, l'image de 20 par f ( x ) était 20 et était la plus petite !
     

  4. anonymus

    Date d'inscription
    octobre 2004
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    On cherche x tq Cm(x) soit minimal.
    Il faut donc connaitre Cm(x) à son minimum pour trouver x.
    Comment on connait le minimum de Cm(x) ?
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.
     

  5. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Citation Envoyé par anonymus Voir le message
    On cherche x tq Cm(x) soit minimal.
    Il faut donc connaitre Cm(x) à son minimum pour trouver x.
    Comment on connait le minimum de Cm(x) ?
    Par une étude de fonction ?
     


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  6. anonymus

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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Exactement
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.
     

  7. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Ah ok, bah c'est l'occasion d'avoir un exemple concret pour apprendre à calculer les extremums.. voici mon tableau de variations:



    Le minimum, sur mon ensemble de définition qui est ]0;+∞[ est-il bien 20 ?
     

  8. anonymus

    Date d'inscription
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    C'est correct.
    Continue...
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.
     

  9. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
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    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Donc il faut que cette entreprise fabrique 20 objets pour que les charges soient minimales, d'accord.

    2) Chaque objet est vendu 100€:

    L'entreprise gagne donc 20 * 100 = 2000 €.

    donc il faut que B ( x ) soit le maximum de la Cm ( x ) ?
     

  10. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
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    70

    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Je viens de penser à autre chose, n'ai-je pas besoin de savoir le coût de fabrication de l'objet ? Car dans le business c'est comme ça que cela marche, on en a pour 20€ par exemple, on multiplie les prix par 5 et hop, on vend 20 objets pour 2000€ et le bénéfice c'est: 2000 - (20*20) = 2000 - 400 = 1600€ de bénéfice ! Comment puis-je donc faire sans le coût de fabrication ?
     

  11. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
    Messages
    70

    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Un petit indice s'il vous plaît ??
     

  12. Nox

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Bretagne
    Messages
    1 627

    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Bonjour !

    Le coût de fabrication, ce n'est pas inclus dans les charges ? Justement le cc(x) c'est le coût global en fonction du nombre de trucs produits (le x) le cm c'est le cout rapporté à un objet ..

    Cordialement,

    Nox
    Voir, c'est savoir ; vouloir, c'est pouvoir ; oser, c'est avoir. (Musset)
     

  13. VelocityKendo

    Date d'inscription
    février 2007
    Messages
    70

    Re : Problème impliquant les dérivées, les limites..

    Dans ce cas là il faut que:
    B ( x ) > Cm ( x )
    Mais comment puis-je faire pour trouver B ( x ) ? A mon avis, pour que le bénéfice soit maximal, il faudrait que le bénéfice B ( x ) tende vers l'infini.
     


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