[spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique
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[spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique



  1. #1
    invitefc60305c

    [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique


    ------

    Bonjour à tous.
    Me revoilà !
    http://forums.futura-sciences.com/BA...eSjuin2004.pdf

    1) avec

    a) Mq si a existe alors a impair.
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    b) Mq en raisonnant modulo 4 que l'équation proposée n'a pas de solutions.
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    2) avec

    a) Mq si alors congru à 1 ou 4 modulo 4.
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    b) Mq si a existe alors a pair et en déduire que n pair.
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    c) On pose n = 2p avec p un naturel supérieur ou égal à 2. Déduire d'une factorisation de que l'équation proposée n'a pas de solutions.
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    3) avec

    a) En raisonnant modulo 3, mq que l'équation n'a pas de solutions si n impair.
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    b) On pose n=2p. Démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.
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  2. #2
    invite35452583

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Pour le 2)c), il faut aussi montrer que la décomposition 9=9x1 n'aboutit pas à un couple solution (a;n).

    Pour le 3)b), factoriser comme au 2), deux cas 9=3x3 et 9=9x1, une amène à une solution unique l'autre à rien.

  3. #3
    invitefc60305c

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Oui j'avais oublié ce cas pr la 2)c).

    La 3)a) est juste ?!

    Sinon pour la 3)b), j'vois pas comment bien rédiger la réponse :/

  4. #4
    invited7005a5b

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (3^p-a)(3^p+a)=9=9x1=3x3
    Et la tu distingues chaque cas; 3^p-a=3^p+a=3 et l'autre cas, 3^p+a=9 et 3^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
    Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 3^p+a=9 et non 3^p-a=9 parce que (3^p+a)>(3^p-a) donc on a plutot 3^p+a=9

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitefc60305c

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Je suppose qu'à la place des 3, je dois lire des 5

    On a
    5^p + a = 9 (L1)
    5^p - a = 1 <=> 5^p = 1+a
    donc (L1) devient 2a=8 <=> a = 4.

    Mais la 3)a)? =(

  7. #6
    invited7005a5b

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (5^p-a)(5^p+a)=9=9x1=3x3
    Et la tu distingues chaque cas; 5^p-a=5^p+a=3 et l'autre cas, 5^p+a=9 et 5^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
    Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 5^p+a=9 et non 5^p-a=9 parce que (5^p+a)>(5^p-a) donc on a plutot 5^p+a=9

  8. #7
    invited7005a5b

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Ok je m'excuse j'ai melangé 3 et 5; sinon voila ce que je voulais dire
    Citation Envoyé par manu tabeko Voir le message
    En fait pour 3)b), tu fait pareil comme tu as fait a la question 2)c). Tu factorises et tu obtiens l'egalité simple (5^p-a)(5^p+a)=9=9x1=3x3
    Et la tu distingues chaque cas; 5^p-a=5^p+a=3 et l'autre cas, 5^p+a=9 et 5^p-a=1. Tu verras rapidement que dans le premier cas tu n'as pas de solution, et dans le second tu as une unique solution que je te laisse determiner.
    Et note bien que pour le second cas, j'ai posé 5^p+a=9 et non 5^p-a=9 parce que (5^p+a)>(5^p-a) donc on a plutot 5^p+a=9
    Mais qu'est ce que tu veut dire par la 3)a)? Ton probleme est resolut, tu as a=4, p=1 et n=2p=2.

  9. #8
    invitefc60305c

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Merci de me répondre déjà

    Pour le 3)b) pas de soucis. Mais pour le 3)a) c'est juste (ça m'étonnerai) ? faux ?

  10. #9
    invited7005a5b

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Mais je ne vois pas trop ce qui t'etonne, tu as toi meme demontrer que a existe si et seulement si n est pair. Pour demontrer cela, tu as fait la demonstration par l'absurde en suposant n impair. Donc tu peux ecrire
    5^n=5^(2p)x5. Donc 5^n=2[3]; or 5^n=a²+9 et 9=0[3]. Donc a²=2[3]. Or tu sais bien que pour tout entier a, on a soit a=0[3], soit a=1[3] ou a=2[3]. Ce qui implique que soit a²=0[3]ou soit a²=1[3]. Or cela ne colle pas avec ce que l'equation a²+9=5^n te donne quand n est impair puisque dans ce cas on obtient a²=2[3].
    Donc n ne peut etre que pair.CQFD

  11. #10
    invitefc60305c

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    D'accord.
    J'ai un autre raisonnement pour montrer que a est forcément pair.

    On a
    Le chiffre des unités de est 5.
    Celui de 9 est 9.
    Donc celui de est 6 (6+9=15, on a le 5 du )
    Donc est pair, donc a est pair.

    C'est compréhensible ?

  12. #11
    kNz

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    Bof.

    a² = 5n-9 = 0 [2] beaucoup plus non ?
    Dernière modification par kNz ; 21/05/2007 à 18h50.

  13. #12
    invited7005a5b

    Re : [spé TS]Asie juin 2004 : arithmétique

    C'est tres bien vu de votre part, cela est plus simple que ma demonstration. Sinon KnZ a plutot remarquablement simplifié la démonstration.

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