démonter que lim x=>0 x*ln(x)=0

[invite13d2b736]

démontrer que lorsque x tends vers 0 alors lim x*ln(x)=0

comen le démontrer svp ??????

[Calvert]

Salut!

Une possibilité est d'écrire:



qui est du type . On peut donc appliquer le théorème de l'Hospital, si tu les connais.

[invitebfd92313]

on peut aussi poser le changement de variable X=ln x et donc x = e^X
la limite devient donc lim (X-> -oo) Xe^X

[invite7553e94d]

La fonction exponentielle est une bijection continue de dans . Ainsi, converge vers si et seulement si converge vers .

Soit
qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Soit
qui converge vers et vaut 1 en 0. Ainsi, f converge vers en zéro.

Tu écris que tu ne crois pas qu'il y a une petite confusion ?

[invite4c8a24e7]

Salut,




Et tu en éduit la limite par composée.

Je vois que plus haut on t-a proposé l'utilisation du théoréme de l'Hospital mais celui ci est toujours à utiliser de préférence en dernier recourt, tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement lol .


@+ dodo

[Calvert]

Pourquoi se refuser l'utilisation d'un théorème simple lorsque c'est possible? La vérification des hypothèses permettant d'appliquer l'Hospital est aisée, mettre une fonction sous la forme permettant son emploi également.

[invite4c8a24e7]

Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).

[invite118c6414]

Tu ne l'écrases pas dans ce cas-là (au sens tu appliques une force mécanique dessus), tu l'as fait fondre. C'est bon, je

Bien sur je te dit pas le contraire Calvert mais à ma connaissance les prof n'aime pas trop ce théoréme ils préférent largement l'utilisation de joli tranformations ... Mais bien sur que l'on peut l'utiliser il n'y a pas de probléme sur ça, mais c'est juste une vision personnelle " tu va à l'hopital quand tu ne peux pas faire autrement " et souvent beaucoup de prof préférent qu'on utilise l'Hospital quand on a vraiment pas d'idée . Ce théoréme sert parfois à se sortir de limite plutôt coriace, ce qui est loin d'être le ca pour celle ci qui est tout a fait triviale, donc c'est un peu abusé d'utliser l'Hospital dans ce cas (c'est comme si tu utilisé un missile intercontinental pour écraser une mouche ).

[invite2ece6a9a]

bonjour tout le monde,
Hum ... le théoreme de l'hospital en terminale ... C'est pas au programme vous savez

Si je me rapelle bien, en Ts j'avais demontré ca en etudiant la limite de ln(x) / (racine(x)) d'abord .

[invite89edeb03]

peuton ne pas écrire xlogx =logx^x et comme x^x tend vers 0^0=1 (convention) et comme log est strictement croissante sur R+-{0},on fera avec ca le xlogx tend vers log1 = 0.ensuite avex x=1/X si X tend vers +00. 1/Xlog1/X = 1/X(log1-logX) = 1/X(-logX)=-log(X)/X tend vers 0 quand X tend vers +00 (connu hihihi)

[invite7553e94d]

Tu écris que tu ne crois pas qu'il y a une petite confusion ?

Arf ! J'aimerais que l'on m'interdise de poster quoi que ce soit après 1h du matin

[acx01b]

salut

lim (x->0, x>0) x lnx
= lim (x-> +inf) ln(1/x) / x
= lim (x-> +inf) - lnx / x
= 0

(cette limite étant connue et facile à démontrer)

[invite89edeb03]

ah bon et comment on fait pour calculer lim log(x)/x qud x tend vers +00 alors
la sollution a été dite par calvert:

Salut!

Une possibilité est d'écrire:



qui est du type . On peut donc appliquer le théorème de l'Hospital, si tu les connais.

la règle de l'ôpital est la : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L'H%C3%B4pital
voila qui devrait clore la discussion
(on dérive logx ca donne 1/x;puis on dérive 1/x ca donne -1/x^2;puis le quotient des dérivées donne -x qui tends vers 0 quand x tends vers 0 cqfd)

[invite89edeb03]

la règle de l'hopital dit ceci:"Soit a un réel ou même \pm\infty, tel que les fonctions réelles f et g soient définies sur un voisinage de a, g ne s'y annulant pas. Si nous essayons de déterminer la limite en a du quotient f / g, où le numérateur et le dénominateur tendent soit les deux vers zéro, soit les deux vers l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée."
la question c'est alors de savoir si on peut dire que log est définie sur un voisinage de 0il faut savoir ce qu'on appelle un voisinage de 0

[Calvert]

Oui, les conditions du théorème sont vérifiées. Par voisinage, on entend "aussi proche de 0 que l'on souhaite" (en tout cas dans ce cas, je sens que les mathématiciens vont me raper dessus sous peu...)

[invite89edeb03]

mouaip je sais pas si il faut pas un intervalle centré sur le centre de l'intervalle; donc ici centré sur 0; et pour log c'est mal barré!
(logx tend vers -00 quand x tend vers 0+)

[Calvert]

Non, je ne pense pas que cela soit nécessaire.

un intervalle centré sur le centre de l'intervalle

Je suis certain que cette condition est remplie pour tous les intervalles...

[invite89edeb03]

Voisinage d'un point:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Voisinage

Dans R, un voisinage d'iun point a est tout sous ensemble V de R tel qu'il existe un k réel tel que ]a-k,a+k[ est inclu dans V.
Mais c'est peut être pas "voisinage" qu'il fallait dire dans la règle de l'hôpital, peut être qu'il y a une erreur dans le textye de Wikipédia

[invitec053041c]

L'hospital utilise en fait l'apparition cachée d'un nombre dérivé. Le fait qu'il faille s'assurer que l'on puisse parler d'un intervalle centré sur le point considéré, c'est pour pouvoir trouver un nombre dérivé à gauche et à droite, donc sur le point considéré .Ici, implicitement, on souhaite forcément la limite en 0 par valeur supérieure, donc on n'a besoin d'un nombre "dérivé implicite" qu'à droite de 0.
Donc l'hospital a bien son mot à dire ici.

[acx01b]

salut

pour calculer lim (x-> +inf) lnx / x

on pose (en choisissant x > e )
u(1) = lnx / x
u(n) = ln (x^n) / (x^n) = n lnx / (x^n)
on a u(n+1) = u(n) * (n+1) / (n*x)

cette suite est majorée par la suite v
v(1) = u(1)
v(n+1) = 2/x * v(n)

qui est une suite géométrique de raison 2/x < 1 (car x > e )
donc lim (n->+inf) v(n) = lim (n->+inf) u(n) = 0

et comme lnx / x est continue
lim (n->+inf) u(n) = lim (x-> +inf) lnx / x = 0

[invite35452583]

et comme lnx / x est continue
lim (n->+inf) u(n) = lim (x-> +inf) lnx / x = 0

La démo ne suffit pas sur ce point.
La fonction inus est continue, sin(pi.n) tend vers 0 mais sin(x) ne tend pas vers 0.
Par contre la voie ln(x)/x (limite admise en Tle S) est plus simple que la voie "règle de l'Hospital"
Une démo en bonne et due forme pourrait être après s'être ramené à ln(x)/x x tend vers +inf à effectuer un changement de variable x=e^y, on est ramené à considérer y/e^y.
On pose f(y)=e^y-(1+y+y²/2)
f est continue dérivable car...
g(y)=f'(y)=e^y-(1+y) est continue et dérivable car...
h(y)=g'(y)=e^y-1 est continue et dérivale
h'(y)=e^y >0 donc h strictement croissante et donc positive si y>=0.
g est donc croissante dès que y>=0, or g(0)=0 donc g est positive...y>=0.
f est donc croissante...et f est positive dès que y>=0.
On a donc pour y>=0

Et on conclue par le théorème de comparaison.
On peut aussi compléter le manque de la démo précédente mais elle devient alors lourde.

[acx01b]

salut

oui pardon j'aurais dû mettre

lnx / x est strictement décroissante et continue et strictement positive
sur ] e ; +inf [ la dérivée étant (1 - ln x) / x^2

et lim (n -> +inf) u(n) = 0
donc pour tout € > 0
on a N tel que pour tout n > N, u(n) < €
et ln x / x étant strictement décroissante et strictement positive sur ] e ; +inf [
on a pour tout y > x^n > e (le x^n de la suite) lny / y < u(n) < €