DM fonction exponentielle TS

[invite8737529f]

Bonjour,
jai un DM de maths à faire et je bloque sur la première question est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour que je puisse le continuer ?
voici l'énoncé :
f est une fonction que l'on ne connait pas, on sait seulement que pour tout x réel, on a :
f'(x) = f(x) et f(0) = 1
on pose y(x)=f(x).f(-x)
justifier la dérivabilité de y sur R

* est-ce qu' après avoir dit qu'une fonction était dérivable en un point, on peut dire que du coup elle est dérivable sur R ?
* comment justifier la dérivabilité de f(-x) ?
* est ce que le produit de deux fonctions dérivables est lui même dérivable ?

je sais que ça ne doit pas être bien compliqué mais j'avoue que là, je bloque!

Merci d'avance à ceux qui me répondront
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[bourbaki]

bonjour,


1.* est-ce qu' après avoir dit qu'une fonction était dérivable en un point, on peut dire que du coup elle est dérivable sur R ?
NON!!!
2.* comment justifier la dérivabilité de f(-x) ?
pour tout x, f '(x)= f(x) donc f est dérivable sur R. donc f est dérivable en -x, qui n'est rien d'autre qu'un x particulier...
3.* est ce que le produit de deux fonctions dérivables est lui même dérivable ?
OUI
En effet,
si u et v sont dérivables en x alors
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).


bonne chance pour la sute de l'exo

[invite8737529f]

merci beaucoup

[invite8737529f]

donc en fait si j'ai bien compris il suffit de dire que comme f'(x) = f(x) alors f est dérivable sur R et donc f(-x) est aussi dérivable sur R
donc pour trouver y'(x) (pour y(x)=f(x).f(-x) )
on fait :
y'(x) = f(x).f'(-x)+f'(x)+f(-x)
ce qui revient à dire que
y'(x)=f(x) ( f'(-x)+f(-x) ) ???
puisque f'(x) = f(x)

et y(0) = f(0).f(-0) = 1
car f(0)=1

comment peut-on à l'aide de des deux résultats soulignés, prouver que f ne s'annule jamais sur R ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[bourbaki]

"f est dérivable sur R et donc f(-x) est aussi dérivable sur R "
ceci n'a pas beaucoup de sens...
f est dérivable sur R, très bien ça suffit. "f(-x) est aussi dérivable sur R " n'a pas de sens attention

[invite8737529f]

mais alors comment fait-on pour démontrer que f(-x) est dérivable sur R ?
merci beaucoup

[bourbaki]

je n'ai pas tout lu ce que tu as souligné, mais ça ne m'etonnerait pas qu'il y ait des fautes.
pour tout x réel, f '(x)= f(x) d'accord ça c'est l'énoncé.
Mais lorsque tu dérives y(x)=f(x).f(-x), pense bien au fait que derriere f(-x) se cache une composée de fonction, je m'explique:
f(-x)= (f o g)(x) où g: x--->-x
du coup, f '(-x)=f '(g(x)).g'(x)= - f '(x).
je ne sais pas si c'est très clair, tu comprends?

[bourbaki]

comment fait-on pour démontrer que f(-x) est dérivable sur R ?

la fonction qui a x associe f(-x) est la fonction f o g définie à mon précédent message.
f o g est dérivable en x ssi ( i/ g est dérivable en x et ii/ f est dérivable en f(g(x)) (ceci est du cours, vérifie tout de même que je ne me trompe pas...)

la condition i/ est vérifiée car g=-Id est dérivable sur R, la condition ii/ est vérifiée car g(x) est un élément de R, et f est dérivable sur R tout entier, en particulier donc en g(x).

attention en calculant ta dérivée de y (CF précédent message)

[invite8737529f]

en utilisant une composée de fonctions je trouve
f'(-x)= -f'(-x)
car al formule de dérivation est
(v o u)' = u' . (v' o u )
:S