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Problème de recette maximale 1°S

  1. Jun_12

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    4

    Problème de recette maximale 1°S

    Bonjour à tous,

    J'ai une grande difficulté a résoudre mon problème de maths car ma prof ne nous a pas encore fait de cours et j'avoue que de toute manière je ne comprend rien a son cours tout les élèves de ma classe sont dans la même situation que moi c'est vraiment désesperant alors si quelqu'un aurai l'amabilité de m'aider a comprendre mon exercice ce serai vraiment genti

    voilà l'énoncé :
    Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à 8€ la place, il pouvait compter sur 500 spéctateurs.
    Par ailleurs, il a constaté que chaque fois qu'il diminue de 0,50€ le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
    Quel tarif doit-il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Calculer alors cette recette.

    J'ai penser a faire un système d'équation pour le résoudre mais je n'ai pas la méthode pour le poser et personne de mon entourage n'a su m'aider
    Merci d'avance !!!

    -----

     


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  2. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 538

    Re : Problème de recette maximale 1°S

    Pour t'aider sans le faire à ta place :
    - quand le tarif est de 8 €, combien encaisse-t-il ?
    - quand le tarif est de 7,50 €, combien encaisse-t-il ?
    - quand il est de 7 €, combien encaisse-t-il ?
    - etc...

    Alors tu te dis que si le tarif est x, combien de spectateurs ? Quelle recette ?
     

  3. Jun_12

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    4

    Re : Problème de recette maximale 1°S

    Oui en réfléchissant d'avantage j'ai réussi a répondre a la question ^^
    merci beaucoup !!
     

  4. lumioguninca

    Date d'inscription
    mai 2005
    Messages
    233

    Re : Problème de recette maximale 1°S

    Bonjour
    pour ce problème il y a plus élégant:
    il y a deux façons de le traiter:
    - soit le directeur de théatre ne fait des variations de prix que de 0,5 euros et pas 0,1 ou 0,3 par ex, alors un tableau suffit (voir tableau
    la recette est égale au nombre de spectateurs x prix de la place
    donc on a : nbre de spectateurs prix de la place recette
    500 8 R= 500*8= 4000
    prix de la place recette
    8 4000
    7,5 4500
    7 4900
    6,5 5200
    6 5400
    5,5 5500
    5 5500
    4,5 5400
    4 5200
    3,5 4900
    3 4500
    2,5 4000
    2 3400
    1,5 2700
    1 1900


    etc etc
    on voit que la recette est maximum pour un prix de place de 5 ou 5,5 euros

    - maintenant personne ne dit dans l'énoncé que le directeur impose un nombre de fois 0,5 euros pour calculer sa recette maximale.
    Si on trace la courbe correspondante à recette= y= f(x) voir tableau ci-joint), x étant le prix des places, on voit que la courbe est une parabole correspondant à une fonction polynôme du second degré qui est définie sur R par : f(x)= ax2+bx+c

    et dont on calcule l'extremum par la formule x=-b/2a (dérivé =0)

    Il faut donc trouver cette fonction. Comme la parabole est tournée vers le haut on sait déjà que a sera négatif . C'est une indication de la justesse de nos calculs futurs? voir

    https://www.youtube.com/watch?v=KgsQI1ksdbA

    Soit R la recette qui sera la fonction f(x) et x le nombre de spectateurs et A le prix de la place.

    on a R= A*x donc f(x)=A*x

    mais on sait aussi que A est fonction de x puisque le nombre de spectateurs augmente de 100 quand x diminue de 0,5 euros donc A=g(x)
    ce qui donne R=f(x)=g(x)*x

    calculons g(x)
    quand on regarde le tableau ci-joint donnant le nombre de spectateurs en fonction du prix des places, on voit que A est une fonction linéaire décroissante donc de la forme
    g(x)=mx+n (je prends m et n pour ne pas confondre avec a et b au-dessus).
    prix de la place Nbre de spectateurs
    8 500
    7,5 600
    7 700
    6,5 800
    6 900
    5,5 1000
    5 1100
    4,5 1200
    4 1300
    3,5 1400
    3 1500
    2,5 1600
    2 1700
    1,5 1800
    1 1900
    0,5 2000
    0 2100

    Calculons m et n:
    m c'est la pente de la droite donc m= (500-600)/(8-7,5)=-200
    n est la valeur de A quand x égal zéro donc: 2100

    on a donc g(x)=-200x+2100

    donc R= g(x)*x donc (-200x+2100)*x= -200 x2+2100 x

    on a donc l'extremum: x=-b/2a= -2100/-400=5,25
    donc la recette sera maximum pour un prix de 5,25 euros
    le nombre de spectateurs sera A=g(x)=-200x+2100=(-200*5,25)+2100=(-1050+2100)=1050
    et la recette maximale sera R= 5,25*1050= 5512,5 euros
    Images attachées
     


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