Problème de recette maximale 1°S

[invite30828bb6]

Bonjour à tous,

J'ai une grande difficulté a résoudre mon problème de maths car ma prof ne nous a pas encore fait de cours et j'avoue que de toute manière je ne comprend rien a son cours tout les élèves de ma classe sont dans la même situation que moi c'est vraiment désesperant alors si quelqu'un aurai l'amabilité de m'aider a comprendre mon exercice ce serai vraiment genti

voilà l'énoncé :
Le directeur d'une salle de théâtre a remarqué qu'à 8€ la place, il pouvait compter sur 500 spéctateurs.
Par ailleurs, il a constaté que chaque fois qu'il diminue de 0,50€ le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
Quel tarif doit-il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Calculer alors cette recette.

J'ai penser a faire un système d'équation pour le résoudre mais je n'ai pas la méthode pour le poser et personne de mon entourage n'a su m'aider
Merci d'avance !!!
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[Jeanpaul]

Pour t'aider sans le faire à ta place :
- quand le tarif est de 8 €, combien encaisse-t-il ?
- quand le tarif est de 7,50 €, combien encaisse-t-il ?
- quand il est de 7 €, combien encaisse-t-il ?
- etc...

Alors tu te dis que si le tarif est x, combien de spectateurs ? Quelle recette ?

[invite30828bb6]

Oui en réfléchissant d'avantage j'ai réussi a répondre a la question ^^
merci beaucoup !!

[lumioguninca]

Bonjour
pour ce problème il y a plus élégant:
il y a deux façons de le traiter:
- soit le directeur de théatre ne fait des variations de prix que de 0,5 euros et pas 0,1 ou 0,3 par ex, alors un tableau suffit (voir tableau
la recette est égale au nombre de spectateurs x prix de la place
donc on a : nbre de spectateurs prix de la place recette
500 8 R= 500*8= 4000
prix de la place recette
8 4000
7,5 4500
7 4900
6,5 5200
6 5400
5,5 5500
5 5500
4,5 5400
4 5200
3,5 4900
3 4500
2,5 4000
2 3400
1,5 2700
1 1900


etc etc
on voit que la recette est maximum pour un prix de place de 5 ou 5,5 euros

- maintenant personne ne dit dans l'énoncé que le directeur impose un nombre de fois 0,5 euros pour calculer sa recette maximale.
Si on trace la courbe correspondante à recette= y= f(x) voir tableau ci-joint), x étant le prix des places, on voit que la courbe est une parabole correspondant à une fonction polynôme du second degré qui est définie sur R par : f(x)= ax2+bx+c

et dont on calcule l'extremum par la formule x=-b/2a (dérivé =0)

Il faut donc trouver cette fonction. Comme la parabole est tournée vers le haut on sait déjà que a sera négatif . C'est une indication de la justesse de nos calculs futurs? voir

https://www.youtube.com/watch?v=KgsQI1ksdbA

Soit R la recette qui sera la fonction f(x) et x le nombre de spectateurs et A le prix de la place.

on a R= A*x donc f(x)=A*x

mais on sait aussi que A est fonction de x puisque le nombre de spectateurs augmente de 100 quand x diminue de 0,5 euros donc A=g(x)
ce qui donne R=f(x)=g(x)*x

calculons g(x)
quand on regarde le tableau ci-joint donnant le nombre de spectateurs en fonction du prix des places, on voit que A est une fonction linéaire décroissante donc de la forme
g(x)=mx+n (je prends m et n pour ne pas confondre avec a et b au-dessus).
prix de la place Nbre de spectateurs
8 500
7,5 600
7 700
6,5 800
6 900
5,5 1000
5 1100
4,5 1200
4 1300
3,5 1400
3 1500
2,5 1600
2 1700
1,5 1800
1 1900
0,5 2000
0 2100

Calculons m et n:
m c'est la pente de la droite donc m= (500-600)/(8-7,5)=-200
n est la valeur de A quand x égal zéro donc: 2100

on a donc g(x)=-200x+2100

donc R= g(x)*x donc (-200x+2100)*x= -200 x2+2100 x

on a donc l'extremum: x=-b/2a= -2100/-400=5,25
donc la recette sera maximum pour un prix de 5,25 euros
le nombre de spectateurs sera A=g(x)=-200x+2100=(-200*5,25)+2100=(-1050+2100)=1050
et la recette maximale sera R= 5,25*1050= 5512,5 euros

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