Une fois à l'endroit, une fois à l'envers

[inviteed6b6e29]

Bonjour, j'ai un DM de Spe maths à faire pour mardi. Il est composé de 5 exercices dont 1 sur lequel je bute depuis 2/3 jours...
Voici l'énoncé:
"On choisit un entier s'écrivant avec 4 chiffres, par exemple 7892 puis on l'écrit à l'"envers" : 2987. On ajoute les deux nombres obtenus. Obtient-on un multiple de 11? Recommencer avec d'autres nombres. Expliquer le phénomène observé."

Voilà pour la 1ere question, je trouve bien un multiple de 11 :
7892+2987=10879
10879/11=989

Pour la 2ème question, j'ai essayé avec différents nombres à 4 chiffres, et j'obtiens des multiples de 11...

Si vous pouviez m'aider, du moins me mettre sur la piste (je préfère, je n'aime pas trop les réponses toutes faites :/ )

Merci d'avance,
Worthing
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[invite2220c077]

Je note l'écriture du nombre x. Ex : .

On veut donc montrer, en appellant a,b,c et d les chiffres du nombre, que :



Or, je rappelle qu'un nombre de n chiffres admet une écriture unique, où les sont ses chiffres, sous la forme :
,

Dans notre cas nous avons donc : .

Je te laisse terminer

[inviteed6b6e29]

Bon, je pense avoir trouvé, avertissez moi si j'ai faux svp.

abcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d
dcba = d.1000 + c.100 + b.10 + a

Par addition,
abcd+dcba = a.(1000+1) + b.(100+10) + c.(100+10) + d.(1000+1)
abcd+dcba = 1001.(a+d) + 110.(b+c)
1001 et 110 étant des multiples de 11, abcd+dcba est un multiple de 11

Merci d'avance,
Worthing

[invite2220c077]

Voilà c'est ça

[A voir en vidéo sur Futura]